Arithmétique modulaire

Guide

La première partie de ce document est une introduction de l'anneau à partir des congruences.
La deuxième partie met l'accent sur quelques résolutions de problèmes où l'utilisation des congruences est fondamentale ou simplement pratique. Ce document n'a aucune prétention à être complet ni même achevé. On espère qu'il peut être utile ainsi.

Définition et opérations algébriques

Définition

Définition

Une classe de congruence modulo n est un sous-ensemble de de la forme
avec a un entier. L'ensemble des classes de congruences modulo n est noté . On note aussi
.
Un entier b est appelé un représentant de la classe si b et a sont congrus modulo n.

Exemple

On choisit en général les représentants entre 0 et n-1, ce qui est toujours possible.
Le reste de la division euclidienne de a par n est bien un représentant de a mod n qui est compris entre 0 et n-1.

Mais il est quelquefois commode de prendre les représentants entre et et même de les prendre quelconques.

Exercice

Classes

Exemple pour plus tard

Il est quand même plus facile de calculer la puissance k-ième de la classe en utilisant le représentant de cette classe qu'est -1. Ainsi :

.

Opérations

Définition.

On définit les opérations algébriques d'addition, soustraction, multiplication par

Mais nous écrirons souvent a + b mod n, par exemple

,
et même
, .
On peut voir ici quelques tables d' addition ou de multiplication.

Théorème.

est un anneau commutatif.

Exercices

Table d'addition

Voici la table d'addition dans :
+012345678910111213141516
0012345678910111213141516
1123456789101112131415160
2234567891011121314151601
3345678910111213141516012
4456789101112131415160123
5567891011121314151601234
6678910111213141516012345
7789101112131415160123456
8891011121314151601234567
9910111213141516012345678
10101112131415160123456789
11111213141516012345678910
12121314151601234567891011
13131415160123456789101112
14141516012345678910111213
15151601234567891011121314
16160123456789101112131415

Table de multiplication

Voici la table de multiplication dans :
times 0 1 2 3 4
000000
101234
202413
303142
404321
Les zéros ont été mis en rouge. Pouvez-vous comparer le nombre de zéros avec le nombre de facteurs premiers de 5?

Inverses et diviseurs de zéro

Existence d'un inverse pour la multiplication

Théorème.

Soit un entier a premier à n. Alors a est inversible dans , c'est-à-dire qu'il existe b tel que
.
En fait, il s'agit d'une équivalence :

Théorème.

Soit un entier a. Alors a est inversible dans si et seulement si a est premier à n.
La démonstration donne aussi un moyen de calcul de cet inverse.
L'entier a est premier avec n si et seulement s'il existe u et v dans ZZ tels que

u a + v n = 1

Donc,

Exemple

Prenons n = 5 :
a = 0 0 times equiv 1 5
a = 1 1 times equiv 1 5
a = 2 2 times equiv 1 5
a = 3 3 times equiv 1 5
a = 4 4 times equiv 1 5

Exercices

Exemples

Exemple

Prenons n = 6 :
a=0
a=1
a=2
a=3
a=4
a=5
Lorsque a n'a pas d'inverse, on voit qu'il est alors diviseur de zéro, c'est-à-dire que
pour un entier b.

Exemple

Pour n = 9
a=0 a=5
a=1 a=6
a=2 a=7
a=3 a=8
a=4

Cas où n est premier

Théorème.

Si n = p est un nombre premier, tout nombre non nul dans a un inverse.
Démonstration. Comme p est premier, il est premier avec tout nombre qu'il ne divise pas, c'est-à-dire avec tout nombre dont la classe de congruence modulo p n'est pas nul. On applique alors le théorème:

Théorème.

Soit un entier a. Alors a est inversible dans si et seulement si a est premier à n.

Exercices

Diviseurs de 0

Lorsque a n'a pas d'inverse, on voit qu'il est alors diviseur de zéro, c'est-à-dire que

pour un entier b.

Proposition.

Dans , a est un diviseur de zéro si et seulement si a n'est pas premier avec n.
Démonstration.
  • Si a est diviseur de zéro, il n'est pas inversible donc d'après le théorème

    Théorème.

    Soit un entier a. Alors a est inversible dans si et seulement si a est premier à n.
    , il n'est pas premier avec n.
  • Si a n'est pas premier avec n, soit d le pgcd de a et de n. Soit b le quotient de n par d; on a

    a = d a', n = d b et ab = d a'b = n a'.

    Donc a b = 0 mod n. La classe de b modulo n est non nulle, car b est un diviseur strict de n.

Exemple

Pour n = 42
a = 0 a = 21
a = 1 a = 22
a = 2 a = 23
a = 3 a = 24
a = 4 a = 25
a = 5 a = 26
a = 6 a = 27
a = 7 a = 28
a = 8 a = 29
a = 9 a = 30
a = 10 a = 31
a = 11 a = 32
a = 12 a = 33
a = 13 a = 34
a = 14 a = 35
a = 15 a = 36
a = 16 a = 37
a = 17 a = 38
a = 18 a = 39
a = 19 a = 40
a = 20 a = 41

Exercices

Diviseurs de zéro 1 2 3

Résolution de quelques problèmes

Résolution de l'équation linéaire

La question est de trouver tous les entiers x vérifiant l'équation

.

On peut adopter plusieurs points de vue selon qu'on est à l'aise ou non dans l'anneau .

Première étape :

L'équation a une solution si et seulement si le pgcd d de a et de n divise b.
Dans ce cas, on divise l'équation par d (y compris n) et on est ramené au cas où a et n sont premiers entre eux.

Deuxième étape :

L'avantage sur la première méthode : on n'a pas besoin de demander l'existence de k tel que ... Il est caché dans le : on se souvient que signifie en fait .

Exercice rapide

Équation linéaire modulaire

Exercice

Équation linéaire

Petit théorème de Fermat

Théorème.

Soit p un nombre premier impair. Alors pour tout entier n,
.
On en déduit le théorème de Fermat :

Théorème.

Soit p un nombre premier impair. Alors pour tout entier n premier à p,
.

Théorème.

Soit p un nombre premier impair. Soit n un entier premier à p. Alors,
Par le petit théorème de Fermat, l'ensemble des entiers r strictement positifs vérifiant est non vide car il contient p - 1. Il admet donc un plus petit élément. Notons-le r0. Faisons la division euclidienne de p - 1 par r0 : p - 1 = q r0 + s avec s entier positif < r0. On a
d'où
Donc, par minimalité de r0, s est soit plus grand que r0, soit nul. Donc s est nul, et r0 divise p - 1.

Résolution d'équations du type

Il faut quand même préciser qui est l'inconnue ! Cela peut être a ou b.
On prend n = p un nombre premier.

Exercice

Équation multiplicative

Exercice

Équation multiplicative II

Équation diophantienne linéaire à 3 inconnues

Soient a, b, c et d quatre entiers. On désire résoudre l'équation
a x + b y + c z = d
en entiers. Les étapes de résolution peuvent être les suivantes :

Une équation diophantienne non linéaire sans solution

On désire montrer que l'équation x2 + y3 = 7 n'a pas de solutions entières.
  1. Soit p un nombre premier impair. Montrer que si l'équation a une solution, alors p est congru à .
    Solution
    Ici, p est impair, donc p - 1 est divisible par 2.

    Si -1 equiv a2 mod p, alors

    .
    La dernière congruence est le petit théorème de Fermat.

    Théorème.

    Soit p un nombre premier impair. Alors pour tout entier n premier à p,
    .
    Donc est pair, ce qui signifie que .
  2. Supposons qu'il existe des entiers x et y tels que x2 + y3 = 7.
    • Montrer que y est impair.
      Solution
      Si y est pair, , ce qui est impossible car tout carré est pair ou congru à .
    • Montrer que le produit d'entiers congrus à est congru à .
      Solution
      Si les nombres a1, ... , an sont congrus à , on a
      .
    • Factoriser 8 - y3 sous la forme (2 - y) B. Montrer qu'il existe un nombre premier p congru à divisant B. En déduire qu'il existe un nombre premier congru à et divisant x2 + 1.
      Solution
      On a 8 - y3 = (2 - y)(4 + 2y + y2), donc B = 4 + 2y + y2. Comme y est impair,
      , ,
      donc B est congru à . D'après la question précédente, il existe un nombre premier p divisant B et congru à . Comme il divise B, il divise aussi (2 - y) B = 8 - y3 = x2 + 1.
  3. Conclure.
    Solution
    Soit des entiers x et y tels que x2 + y3 = 7. On a trouvé un nombre premier p divisant y3 - 8 et congru à 3 mod 4. Pour ce nombre premier,
    .
    Donc -1 est un carré modulo p, ce qui est absurde, car p est congru à .

Pour aller plus loin

Thèmes

document sur les classes de congruence.
: group_theory,modular_arithmetic, interactive mathematics, interactive math, server side interactivity

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