Ce cours est une introduction aux notions simples sur les inégalités.
Son but est de présenter définitions, propriétés de base et calculs et applications usuels.
Pour une approche plus approfondie de ces notions, on pourra consulter avec le plus grand profit
le cours
Inégalités, inéquations
.
Les pages principales (A1, A2, A3, ...) proposent un parcours progressif avec définitions, règles, exemples simples et exercices basiques. Les pages annexes (A1+, A1++, A4+, B1+, ...) qui figurent en retrait, présentent d'autres exemples et exercices plus élaborés, partant souvent de situations concrètes.
Des exercices interactifs pour illustrer ce cours sont en cours de publication, ils y seront insérés dès que possible.
Commentaire pour le professeur. On peut utiliser ce document, avec ses exercices, dans un objectif de mise à niveau et de remédiation sur le sujet rarement bien maîtrisé des inégalités,
notamment pour une meilleure réussite aux études supérieures en Sciences-Technologies-Santé (Licences, DUT, PASS, ...), en Économie-Gestion, ....
A1. Plus petit, plus grand
Cette page présente des définitions et les premiers exemples sur les façons de caractériser le plus grand
ou le plus petit de deux nombres réels.
Définitions. Soient
a et
b deux nombres réels.
a est inférieur ou égal à
b si et seulement si
la différence
b - a est un nombre positif ou nul. Cela définit une relation
notée .
a est supérieur ou égal à
b si et seulement si
la différence
b - a est un nombre négatif ou nul. Cela définit une relation
notée .
Exemples I.
Les relations
et
sont vraies.
La double inégalité
signifie :
et
.
L'inégalité
est vraie pour tout
x réel, car le carré de
x est toujours positif ou nul, quel que soit le réel
x.
Étant donné deux nombres réels
x et
y, on note
a le produit
2xy et
b le carré de leur somme.
Montrer l'inégalité
.
Solution. On a donc : . L'inégalité est vraie car la différence b - a = x2 + y2 est la somme de deux carrés, donc est positive ou nulle.
Définitions. Soient
a,
b,
c, ... des nombres réels.
a est strictement inférieur à
b
si et seulement si la différence
b - a est un nombre positif.
On définit ainsi la relation.
a est strictement supérieur à
b
si et seulement si la différence
b - a est un nombre négatif.
On définit ainsi la relation.
Exemples II.
L'inégalité stricte
est vraie, ainsi que l'inégalité large
.
Quel que soit
, le quotient
est un nombre strictement positif.
Solution.
Selon l'identité remarquable
,
le numérateur est égal à
(1 - x )(1 + x + x2). On obtient
F(x) = 1 + x + x2.
Ce trinôme ayant un discriminant
strictement négatif est de signe constant, positif ici
comme le coefficient
1 du terme en
x2. Voir le cours sur le
signe d'un trinôme
.
Exercice.
Quel est le plus grand périmètre ?
Pour aller plus loin : des exemples et exercices plus élaborés sont présentés
dans les pages suivantes :
On a relevé les tailles (en cm) de 20 élèves disposés en 5 rangées de 4, c'est-à-dire 5 lignes et 4 colonnes dans le tableau ci-dessous.
On note la taille du plus grand de chacune des 5 lignes. Parmi ces 5 tailles, combien vaut la plus petite notée
PGL ?
Quels sont les numéros
de la ligne et
de la colonne de
PGL ?
On note la taille du plus petit de chacune des 4 colonnes. Parmi ces 4 tailles, combien vaut la plus grande notée
GPC ?
Quels sont les numéros
de la ligne et
de la colonne de
GPC ?
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