Droites et plans (géométrie analytique)

Droites et plans (géométrie analytique)


Introduction

Dans ce document, les droites et les plans sont définis par des équations cartésiennes ou une représentation paramétrique. Ces différents points de vue illustrent dans le cadre géométrique les notions de compatibilité et d'ensemble de solutions des systèmes linéaires.

Avertissement
Ce document a pour objectif d'aider à la transition du lycée à l'université, spécialement de préparer l'apprentissage de l'algèbre linéaire. C'est pourquoi on introduit quelques notions de base sur les systèmes linéaires qui peuvent apparaître superflues dans un cadre simple. Il est parsemé d'exercices qui peuvent être regroupés par l'enseignant dans une feuille de sa classe. Les exemples aléatoires peuvent être renouvelés en cliquant sur l'étoile en bas de page ou sur le lien Recharger.

I Droites dans le plan

Dans les parties II et III, on considère l'espace affine muni d'un repère (même si pour les figures, on le prendra orthonormal, il est inutile de lui supposer cette propriété) et on note (x,y,z) les coordonnées d'un point M de dans ce repère. A l'aide de ce repère, on identifie et .

II Plans dans l'espace

III Droites dans l'espace

I Droites dans le plan

Droites et plans (géométrie analytique) → I Droites dans le plan

Introduction

Une droite du plan peut être donnée par une équation cartésienne, c'est-à-dire une relation caractéristique entre les coordonnées des points qui la composent. On peut aussi définir géométriquement une droite par la donnée d'un point et d'un vecteur directeur ou de deux points ; il en résulte analytiquement une représentation paramétrique de la droite.

Dans cette partie, on considère le plan affine muni d'un repère (même si pour les figures, on le prendra orthonormal, il est inutile de lui supposer cette propriété) et on note (x,y) les coordonnées d'un point M de dans ce repère. A l'aide de ce repère, on identifie et .

I-1 Equation cartésienne d'une droite

I-2 Représentation paramétrique d'une droite

I-3 Direction d'une droite

Dans les paragraphes suivants, on est amené à résoudre de petits systèmes linéaires. On en profite pour donner quelques éléments pour leur résolution ; ces conseils préparent la méthode de résolution du pivot de Gauss qui sera utilisée dans des cas plus compliqués.

I-4 Systèmes linéaires

I-5 D'une équation cartésienne à une représentation paramétrique

I-6 D'une représentation paramétrique à une équation cartésienne

I-7 Position relative de deux droites

Droites et plans (géométrie analytique) → I Droites dans le plan

I-1 Equation cartésienne d'une droite

Droites et plans (géométrie analytique) → I Droites dans le plan → I-1 Equation cartésienne d'une droite

I-1-1 Définition : Equation cartésienne d'une droite

I-1-2 Cas particuliers et figure interactive

I-1-3 Détermination d'une équation cartésienne

Droites et plans (géométrie analytique) → I Droites dans le plan → I-1 Equation cartésienne d'une droite

I-1-1 Définition : Equation cartésienne d'une droite

Droites et plans (géométrie analytique) → I Droites dans le plan → I-1 Equation cartésienne d'une droite → I-1-1 Définition : Equation cartésienne d'une droite

Définition

Soient a et b deux réels non nuls en même temps (on note ) et un autre réel c. L'ensemble des points M de dont les coordonnées (x,y) vérifient a x + b y = c est une droite du plan. La droite dépend du choix de a, b et c. On note :
On dit que a x + b y = c est une équation cartésienne de .

Remarque

Connaissant une équation cartésienne d'une droite, pour la tracer, il suffit de déterminer deux points, c'est-à-dire deux couples (x,y) qui vérifient cette équation.


Exemple aléatoire

La droite d'équation = passe par les points A de coordonnées (,) et B de coordonnées (2,-1). En effet leurs coordonnées vérifient : et .

Exercices

Point à coordonnées entières sur une droite
Point sur une droite donnée par une équation cartésienne
Droite passant par un point
Sélectionner une équation pour une droite définie par deux points

Remarque

Si a x + b y = c est une équation cartésienne de , alors pour tout non nul, est une équation cartésienne de . Pour plus de précisions voir le premier exemple ici .
On peut aussi écrire a x + b y - c = 0 l'équation a x + b y = c.

Exemple

La droite d'équation 2x - 4y = 6 admet x - 2y = 3 comme équation cartésienne. Ici on a pris .
Droites et plans (géométrie analytique) → I Droites dans le plan → I-1 Equation cartésienne d'une droite → I-1-1 Définition : Equation cartésienne d'une droite

I-1-2 Cas particuliers et figure interactive

Droites et plans (géométrie analytique) → I Droites dans le plan → I-1 Equation cartésienne d'une droite → I-1-2 Cas particuliers et figure interactive
Par définition, on sait que, si a (resp. b) est nul, l'autre coefficient b (resp. a) n'est pas nul.
  1. Cas a=0 : Une droite d'équation b y=c est parallèle à l'axe des abscisses puisque ses points ont tous pour ordonnée
  2. Cas b=0 : Une droite d'équation a x = c est parallèle à l'axe des ordonnées puisque ses points ont tous pour abscisse
  3. Cas c=0 : Une droite d'équation a x + b y = 0 passe par l'origine
  4. Cas b=1 : L'équation réduite d'une droite y = a'x + b' (avec a' et b' deux réels donnés) est un cas particulier d'équation cartésienne.

Figure

La droite rouge a pour équation a x + b y = c. Faites varier les coefficients a, b et c pour retrouver les cas particuliers, puis pour superposer la droite rouge sur la droite verte D. On peut zoomer si les droites sont hors champs. Proposez plusieurs équations de la droite D. Que se passe-t-il pour a = b = 0 ?

Remarque

On ne s'intéresse pas à l'équation réduite d'une droite car une droite d'équation x = c' (avec c' un réel donné) n'admet pas une telle équation et ce type d'équation privilégie une des coordonnées. On préfère des équations symétriques.

I-1-3 Détermination d'une équation cartésienne

Droites et plans (géométrie analytique) → I Droites dans le plan → I-1 Equation cartésienne d'une droite → I-1-3 Détermination d'une équation cartésienne
Déterminer une équation cartésienne d'une droite passant par A de coordonnées (xA,yA) et dirigée par de composantes , c'est déterminer une condition nécessaire et suffisante sur les coordonnées (x,y) d'un point M pour qu'il appartienne à .
Le point M appartient à si et seulement si est colinéaire à . La relation de colinéarité donne une équation cartésienne de : . (Ce résultat est démontré ici .)
Dans le cas d'une droite passant par deux points distincts A et B, on sait que (AB) admet pour vecteur directeur .

Exercices


Sélectionner un vecteur directeur
Equation cartésienne d'une droite passant par deux points avec indication
Equation cartésienne d'une droite passant par deux points sans indication
Equation cartésienne d'une droite donnée par un point et un vecteur directeur

I-2 Représentation paramétrique d'une droite

Droites et plans (géométrie analytique) → I Droites dans le plan → I-2 Représentation paramétrique d'une droite
On exploite ici analytiquement la définition géométrique d'une droite pour en établir une représentation paramétrique.

I-2-1 Définition

I-2-2 Exemple

Droites et plans (géométrie analytique) → I Droites dans le plan → I-2 Représentation paramétrique d'une droite

I-2-1 Définition

Droites et plans (géométrie analytique) → I Droites dans le plan → I-2 Représentation paramétrique d'une droite → I-2-1 Définition

Proposition

Soit la droite passant par A un point du plan de coordonnées (xA,yA) et dirigé par un vecteur non nul de composantes . Un point M du plan, de coordonnées (x,y), appartient à si et seulement si le système d'équations
admet une solution en t.
On appelle une représentation paramétrique (de paramètre réel t) de .

Démonstration
La droite passant par A et dirigée par est l'ensemble des points M de tels que soit colinéaire à . Dire que est colinéaire à c'est dire qu'il existe un réel t tel que . Pour (x,y) coordonnées de M, cette égalité s'écrit :
Chaque valeur du paramètre t donne les coordonnées d'un point de ; réciproquement si les coordonnées d'un point admettent une telle écriture pour une certaine valeur de t, ce point appartient à .
Fin de la démonstration

Consultez l'exemple à la page suivante.

Exercice

Point sur une droite donnée par une représentation paramétrique.

I-2-2 Exemple

Droites et plans (géométrie analytique) → I Droites dans le plan → I-2 Représentation paramétrique d'une droite → I-2-2 Exemple


Exemple aléatoire

Soient A de coordonnées ( ; ) et le vecteur de composantes (3 ; 3). Une représentation paramétrique de la droite (tracée en bleu) passant par A et dirigé par est :

Le point B de coordonnées ( ; ) est le point de qui correspond à la valeur t= -2 dans cette représentation. Le vecteur est égal à .

Le vecteur est aussi un vecteur directeur de puisqu'il est colinéaire à . Quand on écrit comme la droite passant par B et dirigée par , on obtient la représentation paramétrique :

Dans cette représentation, le point A correspond à la valeur s= -1.

I-3 Direction d'une droite

Droites et plans (géométrie analytique) → I Droites dans le plan → I-3 Direction d'une droite
On rappelle que si A et B sont deux points distincts d'une droite , le vecteur est un vecteur directeur de et que tout vecteur directeur de s'écrit avec M et N des points de .

Définition

Soit une droite du plan. On appelle direction de , et on note , l'ensemble des vecteurs directeurs de augmenté du vecteur nul.

Définition

On dit que deux droites sont parallèles si elles ont mêmes vecteurs directeurs, c'est-à-dire même direction.

I-3-1 Direction d'une droite donnée par une représentation paramétrique

I-3-2 Direction d'une droite donnée par une équation cartésienne

I-3-1 Direction d'une droite donnée par une représentation paramétrique

Droites et plans (géométrie analytique) → I Droites dans le plan → I-3 Direction d'une droite → I-3-1 Direction d'une droite donnée par une représentation paramétrique
Soit une droite donnée par une représentation paramétrique
Un vecteur directeur de est où le point M0 de paramètre t=0 et M1 de paramètre t=1. Par un simple calcul, on obtient les coordonnées de . On en déduit la proposition suivante.

Proposition

Soit une droite de représentation paramétrique
La direction de est l'ensemble des vecteurs colinéaires à :
soit après identification du plan et de :

Exercice


Représentation paramétrique d'une parallèle
Droites et plans (géométrie analytique) → I Droites dans le plan → I-3 Direction d'une droite → I-3-1 Direction d'une droite donnée par une représentation paramétrique

I-3-2 Direction d'une droite donnée par une équation cartésienne

Droites et plans (géométrie analytique) → I Droites dans le plan → I-3 Direction d'une droite → I-3-2 Direction d'une droite donnée par une équation cartésienne
On considère maintenant le cas où la droite est donnée par une équation cartésienne

Proposition

Soit une droite d'équation cartésienne a x + b y = c avec . La direction de est l'ensemble des vecteurs dont les composantes sont les solutions de l'équation a x + b y = 0. On appelle l'équation a x + b y = 0 l'équation homogène associée à a x + b y = c.

Démonstration
On va commencer par montrer l'inclusion , puis .
Soit un vecteur directeur de . Il s'écrit avec M0 et M1 deux points distincts de ; leurs coordonnées respectives (x0, y0) et (x1,y1) vérifient l'équation a x + b y = c, c'est-à-dire on a : a x0 + b y0 = c et a x1 + b y1 = c. Par différence, on obtient a(x1-x0)+b(y1-y0)=0. Ainsi les composantes du vecteur vérifient l'équation homogène a x + b y = 0. On en déduit que la direction de est contenue dans l'ensemble des solutions de a x + b y = 0. Le vecteur nul est bien sûr solution de a x + b y = 0.
Il reste à montrer que tout vecteur non nul solution de a x + b y = 0 est directeur de . Soit une solution non nulle de a x + b y = 0 et M0 un point de de coordonnés (x0,y0). Soit M1 le point défini par . Les coordonnées de M1 sont . Le point M1 appartient à , en effet on a :
Donc le vecteur solution de a x + b y = 0 est un vecteur directeur de puisqu'il est égal à avec M0 et M1 points distincts de .
Fin de la démonstration

Remarque

Pour , l'équation est une autre équation de . Son équation homogène associée est équivalente à l'équation homogène associée à a x + b y = 0. Elles ont donc même ensemble de solutions. Tout est cohérent.

Exercices

Vecteur directeur d'une droite donnée par une équation cartésienne.
Equation d'une parallèle à une droite donnée par une équation
Equation d'une parallèle donnée par une représentation paramétrique.
Droites et plans (géométrie analytique) → I Droites dans le plan → I-3 Direction d'une droite → I-3-2 Direction d'une droite donnée par une équation cartésienne

I-4 Systèmes linéaires

Droites et plans (géométrie analytique) → I Droites dans le plan → I-4 Systèmes linéaires
Dans la résolution d'un système linéaire, on s'attache à procéder par équivalence, c'est-à-dire à remplacer un système par un système équivalent. Deux systèmes équivalents ont même ensemble de solutions. Toute transformation des équations qui permet de passer de l'un à l'autre est réversible.

Définition

On note l'ensemble des solutions d'un système . Si est vide, on dit que est incompatible. Sinon, est dit compatible.

Exemple

Pour , les équations et sont équivalentes. En effet, on transforme (E1) en en multipliant la première par . Réciproquement, en divisant par on obtient (E1).

Exemple

Le système
est équivalent à
Notons L1 et L2 (resp. L'1 et L'2) les lignes de (resp. ). Pour passer de à , on remplace L2 par 2L2-3L1 ; pour passer de à , on remplace L'2 par . Les systèmes sont équivalents.
Dans cet exemple, on a obtenu un système triangulaire en éliminant x dans la seconde équation. On dit qu'on a échelonné le système.
Le processus d'échelonnement, un peu superflu dans ces exemples simples où la substitution fonctionne bien, va se préciser et paraître de plus en plus utile quand la complexité du problème va augmenter.
La solution se calcule en commençant par la deuxième équation : puis dans la première, on obtient : . On a montré que le système a une unique solution :
Par précaution, on vérifie ce résultat en injectant cette solution dans :

Exemple

L'équation 2x + y = 1 donne une contrainte pour deux inconnues. Il reste un degré de liberté et l'une peut donc être choisie librement. Donnons, par exemple, à x la valeur t alors y vaut alors 1-2t.

Remarque

Formellement, on garde toujours les inconnues à gauche du signe =. Quand une inconnue est libre, c'est un paramètre et on la renomme pour mettre en évidence ce statut.

I-5 D'une équation cartésienne à une représentation paramétrique

Droites et plans (géométrie analytique) → I Droites dans le plan → I-5 D'une équation cartésienne à une représentation paramétrique
Dans ce paragraphe, on considère une droite donnée par une équation cartésienne et on établit une représentation paramétrique de cette droite.
Soit une droite d'équation cartésienne a x + b y = c avec . Donner une représentation paramétrique de , c'est résoudre l'équation a x + b y = 0 comme on l'a fait dans un exemple de systèmes linéaires (voir ici ).
Si b est nul, a ne l'est pas. On n'a pas de contrainte sur y à qui on donne la valeur t ; une représentation paramétrique de est donc
La droite est parallèle à l'axe des ordonnées.
Si b n'est pas nul, on pose x=b t (on pourrait aussi poser x=t ou x=25a t, on a le choix) et on calcule y ; après division par b (qui n'est pas nul), on obtient . Une représentation paramétrique de est donc
De cette représentation paramétrique, on déduit que la droite passe par le point et est dirigée par ceci est cohérent avec l'équation cartésienne.

Remarque

On constate que si l'on choisit x comme paramètre, on retrouve l'équation réduite : . L'équation réduite peut donc être vue comme une représentation paramétrique de paramètre x.
Droites et plans (géométrie analytique) → I Droites dans le plan → I-5 D'une équation cartésienne à une représentation paramétrique

I-6 D'une représentation paramétrique à une équation cartésienne

Droites et plans (géométrie analytique) → I Droites dans le plan → I-6 D'une représentation paramétrique à une équation cartésienne
Dans ce paragraphe, on considère une droite donnée par une représentation paramétrique et on établit une équation cartésienne de cette droite.

I-6-1 Méthode

I-6-2 Exemple et figure

Droites et plans (géométrie analytique) → I Droites dans le plan → I-6 D'une représentation paramétrique à une équation cartésienne

I-6-1 Méthode

Droites et plans (géométrie analytique) → I Droites dans le plan → I-6 D'une représentation paramétrique à une équation cartésienne → I-6-1 Méthode
Comme dans ce paragraphe , on considère une droite de représentation paramétrique :
avec et t un paramètre qui parcourt . Une équation cartésienne de est donnée par la proposition suivante.

Proposition

Soit A un point du plan de coordonnées (xA,yA) et un vecteur non nul de composantes . La droite passant par A et dirigée par admet pour équation cartésienne .

Démonstration
On cherche une équation cartésienne de , c'est-à-dire une condition nécessaire et suffisante sur x et y (c.-à-d. sur le point M) pour que le système , équivalent à la représentation paramétrique, ait une solution en t (c.-à-d. que M appartienne à ).
  1. Cas : Une équation cartésienne de est x=xA. En effet si la condition x=xA est vérifiée, on peut calculer t puisque, si est nul, ne l'est pas ; on obtient .
  2. Cas : Le système est équivalent au système
    En effet on a remplacé la ligne L2 par et, pour passer de à , il suffit de remplacer L'2 par . Le système a une solution en t (cette solution est ) si et seulement si x et y vérifient
    Cette équation est donc une équation cartésienne de et la condition de compatibilité du système en t.
Fin de la démonstration

Remarque

Dans la démonstration, on a encore privilégié l'échelonnement à la substitution (calculer t dans une équation et injecter le résultat dans l'autre). Il s'agit encore ici de préparer les cas complexes en constatant dans un cas simple que la condition de compatibilité a un sens géométrique.
Consultez l'exemple et la figure à la page suivante.

Exercice

Equation cartésienne d'une droite donnée par une représentation paramétrique.

I-6-2 Exemple et figure

Droites et plans (géométrie analytique) → I Droites dans le plan → I-6 D'une représentation paramétrique à une équation cartésienne → I-6-2 Exemple et figure


Exemple aléatoire

Soit la droite de représentation paramétrique
Une équation cartésienne de est =.

Figure

Sur la figure suivante, la droite est la droite passant par M et dirigée par le vecteur . Sa représentation paramétrique et son équation cartésienne sont affichées. Observez leurs évolutions en faisant varier le point M et les composantes du vecteur . Entraînez-vous à passer d'une équation cartésienne à une représentation paramétrique et réciproquement.

I-7 Position relative de deux droites

Droites et plans (géométrie analytique) → I Droites dans le plan → I-7 Position relative de deux droites
On rappelle que deux droites du plan sont soit parallèles (confondues ou strictement parallèles) soit sécantes.
Soient et deux droites d'équations cartésiennes respectives a x + b y = c et a'x + b'y = c' (avec et bien sûr). L'intersection de et ou l'ensemble de leurs points communs est l'ensemble des points dont les coordonnées vérifient les deux équations donc c'est l'ensemble des solutions du système de deux équations à deux inconnues x et y.
La figure regroupe tous les cas.

I-7-1 Droites sécantes

I-7-2 Droites strictement parallèles

I-7-3 Droites confondues

I-7-4 Figure

Droites et plans (géométrie analytique) → I Droites dans le plan → I-7 Position relative de deux droites

I-7-4 Figure

Droites et plans (géométrie analytique) → I Droites dans le plan → I-7 Position relative de deux droites → I-7-4 Figure
Sur cette figure, la droite verte D est fixe, elle est dirigée par le vecteur . La droite rouge est la droite passant par M et dirigée par . Le point P est le point d'intersection des deux droites, quand il existe. Faites varier pour tester l'existence de P. Observez les équations des droites.
Faites varier et M pour superposer les deux droites.

I-7-1 Droites sécantes

Droites et plans (géométrie analytique) → I Droites dans le plan → I-7 Position relative de deux droites → I-7-1 Droites sécantes
Les droites sont sécantes si et seulement si le système admet une et une seule solution (x0,y0).

Exemple

Soient et deux droites d'équations cartésiennes respectives 2x + 4y = 1 et 3x + 7y = 2. Dans ce cas, le système est le système de l'exemple . On a montré : . Géométriquement ceci signifie que les droites sont sécantes au point M0 de coordonnées .
Consultez la figure .

I-7-2 Droites strictement parallèles

Droites et plans (géométrie analytique) → I Droites dans le plan → I-7 Position relative de deux droites → I-7-2 Droites strictement parallèles
Deux droites du plan sont strictement parallèles (c'est-à-dire parallèles et non confondues) quand le système n'admet aucune solution.

Exemple

Soient et deux droites d'équations cartésiennes respectives 2x + 4y = 1 et 6x + 12y = 2. Comme précédemment, on échelonne le système
en remplaçant L2 par L2-3L1 et on obtient le système échelonné équivalent suivant :
Le système est incompatible car -1 est différent de 0 donc est l'ensemble vide.
Géométriquement ceci signifie que et sont parallèles (voir la définition ici ). On le constate aussi en remarquant les équations 2x + 4y = 0 et 6x + 12y = 0 de leurs directions sont proportionnelles (voir direction ).
Consultez la figure .

I-7-3 Droites confondues

Droites et plans (géométrie analytique) → I Droites dans le plan → I-7 Position relative de deux droites → I-7-3 Droites confondues
Quand le système admet une infinité de solutions, cela signifie que les droites sont confondues ; les deux équations sont proportionnelles.

Exemple

Soient et deux droites d'équations cartésiennes respectives 2x + 4y = 1 et 6x + 12y = 2. Comme précédemment, on échelonne le système
est équivalent à
Par ce calcul, on constate, si on ne l'avait pas fait avant, que les équations cartésiennes de et sont proportionnelles donc les droites sont confondues.

II Plans dans l'espace

Droites et plans (géométrie analytique) → II Plans dans l'espace

Introduction

Un plan de l'espace peut être donné par une équation cartésienne, c'est-à-dire une relation caractéristique entre les coordonnées des points qui la composent. On peut aussi définir géométriquement un plan par la donnée d'un point et d'une paire de vecteurs directeurs non colinéaires ; il en résulte analytiquement une représentation paramétrique du plan. L'étude des plans dans l'espace est similaire à celle des droites dans le plan à ceci près qu'il faut deux paramètres pour repérer un point d'un plan.

II-1 De la définition géométrique à une représentation paramétrique

II-2 D'une représentation paramétrique à une équation cartésienne

II-3 D'une équation cartésienne à une représentation paramétrique

II-4 Direction d'un plan de l'espace

II-5 Intersection de deux plans dans l'espace

Droites et plans (géométrie analytique) → II Plans dans l'espace

II-1 De la définition géométrique à une représentation paramétrique

Droites et plans (géométrie analytique) → II Plans dans l'espace → II-1 De la définition géométrique à une représentation paramétrique
Pour les plans dans l'espace, on choisit de s'appuyer sur la définition géométrique.

Définition

Dans l'espace , on considère un point A et deux vecteurs non colinéaires et . Le plan passant par A et dirigé par et est l'ensemble des points M de tels que soit une combinaison linéaire de et .
Si A a pour coordonnées (x0,y0,z0) et (respectivement ) pour composantes (respectivement ). Une représentation paramétrique (de paramètres t et s) de ce plan est :
En effet, pour un point M de coordonnées (x,y,z), le vecteur est une combinaison linéaire de et si et seulement si il existe deux réels t et s vérifiant .
La représentation paramétrique traduit analytiquement cette équivalence.

Exercice


Point d'un plan donné par une représentation paramétrique
Droites et plans (géométrie analytique) → II Plans dans l'espace → II-1 De la définition géométrique à une représentation paramétrique

II-2 D'une représentation paramétrique à une équation cartésienne

Droites et plans (géométrie analytique) → II Plans dans l'espace → II-2 D'une représentation paramétrique à une équation cartésienne
La représentation paramétrique d'un plan s'établit vite mais n'est pas très commode pour décider si un point appartient au plan ou non. Il s'agit de décider si un système de trois équations à deux inconnues t et s admet une solution. Comme le plan ne recouvre pas tout l'espace, il est des cas où ce système n'aura pas de solution. La condition de compatibilité du système, qui est une relation entre x, y et z, est une équation cartésienne du plan.

Exemple

Soit le plan Pi passant par et dirigé par et . Une représentation paramétrique de Pi est :
Considérons les points M et N de coordonnées respectives (3,1,5) et (3,1,1). Il s'agit de résoudre, pour ces valeurs particulières de (x,y,z) le système en (t,s) :
Finissons d'échelonner le système, en retranchant à la dernière ligne la somme de la première et de la moitié de la seconde, nous obtenons un système équivalent à :
La condition de compatibilité du système est donc : 2x + y - 2z + 3 = 0. Les coordonnées de M vérifient cette condition et en résolvant le système, on obtient . Donc M appartient à Pi.
Remplaçons (x,y,z) par les coordonnées (3,1,1) de N dans le système . La première équation donne t=2 et la seconde s=1. Si on s'arrête ici, satisfait d'avoir des valeurs pour t et s, on néglige la troisième équation qui n'admet pas cette solution (2,1), en effet on a . Pour le point N, le système est incompatible, les coordonnées de N ne vérifie pas la condition de compatibilité du système. Il n'existe aucun couple (t,s) tel que . Le point N n'appartient pas à Pi.

Exercice

Equation cartésienne d'un plan donné par une représentation paramétrique
Droites et plans (géométrie analytique) → II Plans dans l'espace → II-2 D'une représentation paramétrique à une équation cartésienne

II-3 D'une équation cartésienne à une représentation paramétrique

Droites et plans (géométrie analytique) → II Plans dans l'espace → II-3 D'une équation cartésienne à une représentation paramétrique

Théorème

Soient a, b et c trois réels non nuls en même temps (on note ) et un autre réel d. L'ensemble des points M de dont les coordonnées (x,y,z) vérifient a x + b y + c z = d est un plan de l'espace.
On dit que a x + b y + c z = d est une équation cartésienne de . Pour tout réel lambda non nul, est aussi une équation cartésienne de .

Démonstration
Intuitivement, on impose une contrainte à un point qui dépend de trois coordonnées donc il reste deux degrés de liberté, plus précisément :
Au moins l'un des coefficients a, b et c n'est pas nul, supposons que a n'est pas nul. Si on pose y = t et z = s de l'équation a x + b y + c z = d, on tire . L'ensemble est donc le plan passant par et dirigé par les vecteurs de composantes et qui ne sont pas colinéaires.
Une représentation paramétrique pour ce plan est
Fin de la démonstration

Exemple

Le plan d'équation cartésienne x + 2y - z = 1 a pour représentation paramétrique :
C'est le plan passant par et dirigé par et .

Exemple

Considérons le plan d'équation cartésienne 2y-z=1. On pose x=t (aucune contrainte ne pèse sur x) et y=s ( y et z sont liés par une équation, on peut choisir librement l'une des deux coordonnées) et une représentation paramétrique du plan est :
C'est le plan passant par et dirigé par et .

Exercices


Point d'un plan défini par une équation cartésienne.
Représentation paramétrique d'un plan défini par une équation cartésienne.
Droites et plans (géométrie analytique) → II Plans dans l'espace → II-3 D'une équation cartésienne à une représentation paramétrique

II-4 Direction d'un plan de l'espace

Droites et plans (géométrie analytique) → II Plans dans l'espace → II-4 Direction d'un plan de l'espace

Définition

Soit un plan Pi de l'espace. On appelle direction de Pi, et on note , l'ensemble des vecteurs avec et .

Proposition

Soit le plan passant par un point A et dirigé par deux vecteurs non colinéaires et . La direction de est l'ensemble des vecteurs combinaisons linéaires de et .
Soit le plan d'équation cartésienne a x + b y +c z = d avec . La direction de est l'ensemble des solutions de l'équation a x + b y +c z = 0. On appelle l'équation a x + b y +c z = 0 l'équation homogène associée à a x + b y +c z = d.

L'affirmation pour résulte des définitions. L'affirmation pour se démontre comme pour la droite ici .
Droites et plans (géométrie analytique) → II Plans dans l'espace → II-4 Direction d'un plan de l'espace

II-5 Intersection de deux plans dans l'espace

Droites et plans (géométrie analytique) → II Plans dans l'espace → II-5 Intersection de deux plans dans l'espace
Nous étudions l'intersection de deux plans dans l'espace selon qu'ils ont ou non même direction.

II-5-1 Plans parallèles

II-5-2 Plans non parallèles

II-5-3 Figure pour deux plans non parallèles

II-5-4 Intersection de deux plans dans l'espace

Droites et plans (géométrie analytique) → II Plans dans l'espace → II-5 Intersection de deux plans dans l'espace

II-5-1 Plans parallèles

Droites et plans (géométrie analytique) → II Plans dans l'espace → II-5 Intersection de deux plans dans l'espace → II-5-1 Plans parallèles

Définition

On dit que deux plans sont parallèles s'ils ont même direction.

Proposition

Deux plans parallèles dans l'espace sont soit confondus, soit disjoints.

Démonstration
Soient et d'équations respectives a1 x + b1 y +c1 z = d1 et a2 x + b2 y +c2 z = d2. Ces plans sont parallèles si et seulement si les équations de leurs directions a1 x + b1 y +c1 z = 0 et a2 x + b2 y +c2 z = 0 sont proportionnelles. Alors les points de l'intersection de et sont les solutions du système
Si le premier membre de la seconde ligne est proportionnelle de la première dans le rapport , alors le système est équivalent à :
Le système est compatible si et seulement si les équations a1 x + b1 y +c1 z = d1 et a2 x + b2 y +c2 z = d2 sont proportionnelles si et seulement si les plans sont confondus. Sinon le système n'a pas de solution, les plans sont disjoints.
Fin de la démonstration

Figure

Sur la figure ci-dessous qui peut tourner, le plan vert est le plan défini par les points A, B et C. Vous pouvez le faire varier. Le plan rose est le plan passant par M (variable) parallèle à . Faites varier la figure et observez les équations des plans.


Exercice

Equation d'un plan parallèle à un autre donné et passant par un point donné

II-5-2 Plans non parallèles

Droites et plans (géométrie analytique) → II Plans dans l'espace → II-5 Intersection de deux plans dans l'espace → II-5-2 Plans non parallèles
Soient et d'équations respectives a1 x + b1 y +c1 z = d1 et a2 x + b2 y +c2 z = d2. Alors les points de l'intersection de et sont les solutions du système
Si les plans ne sont pas parallèles, lors de l'échelonnement de ce système, on obtient toujours deux équations à premier membre non nul et il reste un seul degré de liberté, l'intersection est une droite. Lors de la résolution complète, on reconnaîtra la représentation paramétrique(voir ici ) d'une droite dans l'espace. Précisons cela sur des exemples.

Exemple

Après remplacement de la deuxième ligne L2 par L2-2L1, le système
est équivalent à
Il donne deux contraintes pour 3 inconnues, on pose y=t et l'ensemble des solutions est .
Interprétons géométriquement ce résultat : l'intersection de et d'équations respectives x + 2y = 3 et 2x + 4y + z = 8 est l'ensemble des points M de coordonnées (x ,y ,z) vérifiant
Notons B le point de coordonnées (3, 0, 2) et le vecteur de composantes (-2,1,1). L'ensemble est l'ensemble des points M de l'espace tels que . Cet ensemble est la droite passant par B et dirigé par .

Exemple

Le système
est déjà échelonné. Il donne deux contraintes pour 3 inconnues, on pose z=s et l'ensemble des solutions est .
Interprétons géométriquement ce résultat : l'intersection de et d'équations respectives - 2y + 2z = 4 et x +3z = 5 est l'ensemble des points M de coordonnées (x ,y ,z) vérifiant
Notons C le point de coordonnées (5, -2, 0) et le vecteur de composantes (-3,1,1). L'ensemble est l'ensemble des points M de l'espace tels que . Cet ensemble est la droite passant par C et dirigé par .

Exercice

Intersection de deux plans non parallèles

II-5-3 Figure pour deux plans non parallèles

Droites et plans (géométrie analytique) → II Plans dans l'espace → II-5 Intersection de deux plans dans l'espace → II-5-3 Figure pour deux plans non parallèles

Sur la figure suivante qui peut tourner, le plan vert est le plan défini par les points A, B et M1. Le plan rose est le plan passant par A, B et M2. L'intersection des deux plans qui sont en général disjoints est en général la droite (AB). Les plans peuvent-ils être confondus ?


II-5-4 Intersection de deux plans dans l'espace

Droites et plans (géométrie analytique) → II Plans dans l'espace → II-5 Intersection de deux plans dans l'espace → II-5-4 Intersection de deux plans dans l'espace
La conclusion des études précédentes est la proposition suivante.

Proposition

Dans l'espace, deux plans sont parallèles (confondus ou bien disjoints) ou bien leur intersection est une droite.

III Droites dans l'espace

Droites et plans (géométrie analytique) → III Droites dans l'espace
Comme nous l'avons vu précédemment, l'intersection de deux plans non parallèles dans l'espace est une droite. Nous avons en effet reconnu la représentation paramétrique d'une droite. Une droite n'admet pas une équation cartésienne, mais un système de deux (au moins) équations cartésiennes qui décrivent deux plans non parallèles la contenant.

III-1 Représentation paramétrique

III-2 Système d'équations cartésiennes

III-3 Position relative d'une droite et d'un plan

III-4 Position relative de deux droites

Droites et plans (géométrie analytique) → III Droites dans l'espace

III-1 Représentation paramétrique

Droites et plans (géométrie analytique) → III Droites dans l'espace → III-1 Représentation paramétrique
Soit A un point de l'espace et un vecteur non nul, la droite passant par A et dirigée par est l'ensemble de point M de tels que soit colinéaire à . On peut donc poser la définition suivante.

Définition

Soit A un point du plan de coordonnées (xA, yA, zA) et un vecteur non nul de composantes . On appelle le système d'équations linéaires
une représentation paramétrique (de paramètre ) de la droite passant par A et dirigée par .
Un point M (x,y,z) appartient à si et seulement si le système a une solution en t pour (x, y, z).

Exercice


Représentation paramétrique d'une droite donnée géométriquement.
Droites et plans (géométrie analytique) → III Droites dans l'espace → III-1 Représentation paramétrique

III-2 Système d'équations cartésiennes

Droites et plans (géométrie analytique) → III Droites dans l'espace → III-2 Système d'équations cartésiennes
Connaissant une représentation paramétrique de , nous allons établir un de ses systèmes d'équations cartésiennes. Commençons par étudier la compatibilité du système d'inconnue t.

III-2-1 Conditions de compatibilité de

III-2-2 Exemple et exercice

III-2-3 Intersection de plans

Droites et plans (géométrie analytique) → III Droites dans l'espace → III-2 Système d'équations cartésiennes

III-2-1 Conditions de compatibilité de

Droites et plans (géométrie analytique) → III Droites dans l'espace → III-2 Système d'équations cartésiennes → III-2-1 Conditions de compatibilité de
Reprenons les notations précédentes et voyons à quelles conditions sur (x , y, z) le système d'inconnue t
admet une solution, c'est-à-dire à quelles conditions un point M de coordonnées (x , y, z) appartient à .
Comme n'est pas nul, l'un au moins des réels , et n'est pas nul. Supposons que c'est .
  • [ cas ]
    Dans ce cas, les conditions de compatibilité sont y = yA et z = zA et on a : . La droite est intersection de deux plans parallèles aux plans de coordonnées. Un système d'équations cartésiennes de est
  • [ cas et ]
    Dans ce cas, une condition de compatibilité est z = zA. L'autre est celle (déjà vue ici ) du système
    soit . \ Un système d'équations cartésiennes de est alors
    La droite est intersection de deux plans. On calcule .
  • [ cas et ]
    L'échelonnement du système
    permet d'obtenir le système équivalent suivant :
    Le système a deux conditions de compatibilité qui forment un système d'équations cartésiennes de . Si M appartient à ces deux plans d'équations et , il appartient à en effet on a : pour la valeur .

Proposition

Soit une droite dont une représentation paramétrique de paramètre t est le système . Alors les deux conditions de compatibilité de forment un système d'équations cartésiennes de .
Donner un système d'équations cartésiennes de , c'est considérer comme intersection de deux plans.

III-2-2 Exemple et exercice

Droites et plans (géométrie analytique) → III Droites dans l'espace → III-2 Système d'équations cartésiennes → III-2-2 Exemple et exercice

Exemple

Soit la droite de représentation paramétrique de paramètre
Comme système en t, s'écrit :
système équivalent par échange des équations et échelonnement à :
Un point M de coordonnées (x, y, z) appartient à la droite si et seulement si admet une solution t si et seulement si M vérifie
Le système est donc un système d'équations cartésiennes de . La droite est alors l'intersection des deux plans d'équations respectives z-y=2 et x+3z=5.

Exercice


Système d'équations cartésiennes d'une droite

III-2-3 Intersection de plans

Droites et plans (géométrie analytique) → III Droites dans l'espace → III-2 Système d'équations cartésiennes → III-2-3 Intersection de plans
Précédemment, nous avons vu que les conditions de compatibilité d'une représentation paramétrique de sont les équations cartésiennes de deux plans d'intersection . Nous proposons ici une méthode géométrique pour écrire une droite comme intersection de deux plans.
Soit A un point de l'espace et un vecteur non nul et la droite passant par A et dirigée par . Considérons un des vecteurs du repère qui ne soit pas colinéaire à et nommons le plan passant par A et dirigé par et . Le plan contient .
Considérons un des vecteurs du repère qui ne soit pas dans . C'est possible car le repère ne peut pas s'aplatir sur le plan. Nommons le plan passant par A et dirigé par et (qui ne sont pas colinéaires). La droite est contenue dans et qui ne sont pas parallèles donc est l'intersection des plans et .

Exemple

Dans l'exemple vu ici , les deux plans d'équations respectives -2y +2z = 4 et x + 3z = 5 ont pour intersection la droite passant par le point C de coordonnées (5, -2, 0) et dirigée le vecteur de composantes (-3,1,1). Nous avions exhibé une représentation paramétrique de en résolvant de système formé par les deux équations de plan :
Les conditions de compatibilité de ce système déjà vues ici nous permettent de considérer comme l'intersection des plans d'équations respectives z - y = 2 et x +3z = 5.
En utilisant la méthode géométrique, on peut choisir et , peut être vue comme l'intersection du plan passant par C et dirigé par et (une équation de ce plan est y - z = -2) et du plan passant par C et dirigé par et (une équation de ce plan est x + 3y = -1).

Remarque

Evidemment, une droite a une infinité de système d'équations cartésiennes tous équivalents. Dans l'exemple, on peut obtenir l'équivalence des systèmes d'équations cartésiennes de
en remplaçant la première ligne L1 de par son opposé et la ligne L2 par L2 - 3L1.

III-3 Position relative d'une droite et d'un plan

Droites et plans (géométrie analytique) → III Droites dans l'espace → III-3 Position relative d'une droite et d'un plan

Proposition

Soit une droite et Pi un plan de l'espace . Si la direction de Pi contient un vecteur directeur de alors on dit que est parallèle à Pi. La droite peut être contenue dans Pi ; sinon on dit qu'elle est strictement parallèle à Pi. Quand n'est pas parallèle à Pi, et Pi ont un unique point d'intersection.

Exercices


Intersection d'une droite et d'un plan
Position relative d'une droite et d'un plan
Droites et plans (géométrie analytique) → III Droites dans l'espace → III-3 Position relative d'une droite et d'un plan

III-4 Position relative de deux droites

Droites et plans (géométrie analytique) → III Droites dans l'espace → III-4 Position relative de deux droites
Dans cette dernière partie, nous étudions les positions possibles pour deux droites de l'espace.

III-4-1 Proposition

III-4-2 Figure dans un prisme

III-4-3 Exercices dans un cube

Droites et plans (géométrie analytique) → III Droites dans l'espace → III-4 Position relative de deux droites

III-4-1 Proposition

Droites et plans (géométrie analytique) → III Droites dans l'espace → III-4 Position relative de deux droites → III-4-1 Proposition

Proposition

Soit et deux droites de l'espace .
Si et ont même direction, elles sont strictement parallèles ou confondues.
Si et n'ont pas même direction, deux cas peuvent se présenter :
  • elles sont sécantes, c'est-à-dire que leur intersection est réduite à un point.
  • elles sont disjointes alors elles sont non coplanaires, c'est-à-dire qu'il existe aucun plan qui les contienne toutes les deux.

Démonstration
Si et sont coplanaires, on a vu qu'elles étaient sécantes ou parallèles.
Réciproquement, supposons que (respectivement ) est la droite passant par A1 (resp. A2) et dirigée par (resp. ). Si elles sont sécantes en un unique point B, elles sont contenues dans le plan passant par B et dirigé par . Si elles sont parallèles et distinctes, elles sont contenues dans le plan passant par A1 et dirigé par .
Fin de la démonstration

Exercices


Position relative de deux droites données par représentation paramétrique.
Position relative de deux droites données par un point et un vecteur directeur

III-4-2 Figure dans un prisme

Droites et plans (géométrie analytique) → III Droites dans l'espace → III-4 Position relative de deux droites → III-4-2 Figure dans un prisme

Figure

Le polyèdre de la figure est un prisme dont la base est un parallélogramme A B C D. On nomme Pi le plan de ce parallélogramme.
  • Dans le plan Pi, les droites (AB) et (BC) sont sécantes en B,
  • Dans le plan Pi, les droites (AB) et (CD) sont parallèles.
  • La droite (B'C') est parallèle à Pi.
  • La droite (B'C') est parallèle à Pi.
  • La droite (BB') rencontre Pi en B.
  • Les droites (AB) et (B'C') ne sont pas coplanaires.

III-4-3 Exercices dans un cube

Droites et plans (géométrie analytique) → III Droites dans l'espace → III-4 Position relative de deux droites → III-4-3 Exercices dans un cube
Il s'agit de préciser la position relative d'une droite et d'un plan ou de deux droites.

Exercices


Droite et plan dans un cube (facile)
Droite et plan dans un cube
Position relative de deux droites dans un cube (facile)
Position relative de deux droites dans un cube

cours : equations cartésiennes, représentation paramétrique, échelonnement d'un système linéaire.
: gauss_algorithm,linear_system,line,plane,plane_equation,line_equation, interactive mathematics, interactive math, server side interactivity

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