Frises et isométries
Sommaire
Ce document est une introduction aux frises. C'est un sujet d'application du cours sur les isométries du plan . L'objectif est de faire agir les isométries du plan sur un objet décoratif et de reconnaître les symétries d'une figure.
Pour une étude plus approfondie, consultez Doc Frises et Pavages .
Frises et isométries
Groupe des isométries d'une frise
- Groupe des isométries d'une frise
- Premiers exemples
- Motif d'une frise
- Exemples de mailles et de motifs
- Droite invariante du groupe d'une frise , médiane d'une bande
- Eléments caractéristiques des isométries d'une frise
- Symétries glissées d'une frise
Exercices
- Construire une frise invariante par des isométries données. Cliquez sur INTRO/CONFIG pour changer d'isométries.
- Symétries d'une frise
- Choix des éléments de symétrie
- Centres de symétrie d'une frise (dans la deuxième question, il faut cliquer sur tous les centres de symétrie.)
Images de frises
Les frises sont des éléments de décor qu'on retrouve dans de nombreuses civilisations. Leur régularité est due à l'action répétée de certaines isométries du plan sur un motif de base. Contemplez ces exemples pour vous familiariser avec ces objets.
- Une fenêtre sur l'île Saint Louis
Photo Marie-Claude David - Lambroquins à la Réunion
- Sur le site précédent : Frises de tout lieu et tout temps
- Frise obtenue par l'action d'une symétrie glissée et ses composées.
- D'autres exemples.
Modèles de frises
Bande et décor
Bande du plan
On suppose désormais choisie une bande du plan. On considère un décor (en couleur) dans la bande, c'est-à-dire une partie de la bande colorée ou non.
Décor dans une bande
Voici un décor dans une bande. Nous incluons ce décor dans une maille (cliquer sur la case maille) et nous construisons une frise (cliquer sur la case frise) . Les définitions de frise et maille sont à la page suivante.Frise, maille
Frise dans une bande
- est un vecteur directeur des deux droites frontières de la bande.
- est invariant par la translation de vecteur , c'est-à-dire : (en tenant compte des couleurs).
- Si est invariant par une translation de vecteur , alors est de la forme , k étant un entier relatif.
Ainsi, est un des deux vecteurs non nuls de norme minimale des translations laissant invariant. On dit que est un vecteur minimal de la frise . On note une frise de vecteur minimal .
On peut exprimer de façon concrète le fait que soit invariant par la translation de vecteur : si on décalque , et si on fait glisser le calque suivant le vecteur , on peut de nouveau faire coïncider le dessin de sur le calque avec .
Maille d'une frise
La frise est l'union des translatés de la maille.
Exemples. Consultez la figure à la page précédente et d'autres exemples ici .
Isométrie d'une frise
On s'intéresse maintenant aux isométries qui conservent (ou laissent invariantes) la frise .
Isométrie de la frise
- l'image de la bande par est égale à la bande
- la frise est invariante par .
Translations de la frise
Notons leur ensemble. L'ensemble est un groupe.
Groupe des isométries d'une frise
Comme on l'observe sur les exemples, le groupe d'une frise reflète les ``symétries'' de la frise (symétries au sens commun). Pour cette raison, il joue un rôle important dans l'étude des frises. Dans la suite, on étudie quelques propriétés des groupes des frises.
- contient l'identité.
- Si g et h sont des isométries de la frise, conserve la frise.
- Si h appartient à , alors appartient à
Pour une étude complète des différents types de groupes de frises, consultez le cours Doc Frises et Pavages .
Premiers exemples
Exemples : Dans l'exemple 1, le groupe est réduit à . Dans l'exemple 2, il contient en plus des symétries centrales.
Exemple 1 : Voici une frise de triangles dont le groupe est réduit au groupe des
translations de vecteur
(
).
On a hachuré une maille rectangulaire et une maille parallélogramme.
Exemple 2 : Cette frise est invariante par des symétries centrales, par exemple celles
de centre
Q,
Q',
Q''... En voyez-vous d'autres ? Une maille est hachurée une fois ;
un motif qu'elle contient est hachuré deux fois.
Motif d'une frise
Exemples de mailles et de motifs
Une maille est entourée en rouge, un motif est le rectangle à fond clair
Sur un pied : Une maille et un motif sont confondus.
La maille contient les deux pieds, le motif un seul puisque le second s'obtient par isométrie de la frise.
Marche normale
Saut à pieds joints
Danse folklorique
Droite invariante du groupe d'une frise
En effet la frontière de la bande est invariante par toute isométrie de . De plus la médiane est définie par une propriété de distance.
Eléments caractéristiques des isométries d'une frise
Les propriétés d'invariance de la bande et de la médiane permettent de préciser les éléments caractéristiques des isométries de .
- Les centres de symétries de appartiennent à .
- Les axes des réflexions appartenant à sont ou les perpendiculaires à .
- Si contient une symétrie glissée, celle-ci est d'axe et de vecteur , avec .
- Le groupe ne contient aucune rotation qui ne soit ni l'identité, ni une symétrie centrale.
Les résultats nécessaires à cette démonstration sont disponibles dans le cours Isométries du plan .
(1) et (2) résultent des propriétés des droites invariantes par une symétrie centrale ou par une réflexion.
(3) Le carré d'une symétrie glissée qui conserve la frise est une translation qui conserve la frise, donc son vecteur est un multiple de .
(4) résulte de l'absence de droite invariante par une rotation qui n'est ni l'identité, ni une symétrie centrale.
Symétries glissées d'une frise
Nous précisons ici quand le groupe d'une frise contient des symétries glissées et lesquelles.
Si contient , il contient une infinité de symétries glissées ( ).
Si ne contient pas et contient une symétrie glissée, alors il contient la symétrie glissée et ses composées avec les translations.