Approximation de lois de probabilité
--- Introduction ---
Ce module regroupe pour l'instant 6 exercices sur l'approximation
de lois de probabilité : approximations de lois discrètes classiques et approximation de lois
en utilisant le théorème central limite.
Pour l'exercice "Approximation de lois classiques", vous pouvez restreindre
les lois sur lesquelles porteront les questions en cochant celles que vous voulez dans la liste ci-dessous.
Les exercices "Le décalage d'une montre" et
"Réaction à un vaccin" sont des exercices de modélisation
portant chacun sur une loi particulière. Ce sont des exercices à étapes. Ils sont proposés en deux versions,
une version courte et une version longue (la version longue est présentée par défaut).
L'exercice "Table de mortalité" est aussi un exercice
de modélisation à étapes. Il offre plus de situations différentes que les 2 exercices précédents.
Approximation d'une loi binomiale par une loi normale
Soit
une variable aléatoire de loi binomiale
.
Si on décide d'approcher la loi de
par une loi normale, on utilise une loi normale d'
et de
.
.
En bleu, le diagramme en bâtons de la loi binomiale
sur l'intervalle [;]. En rouge, la densité de la loi normale
.
On va utiliser cette approximation pour calculer
.
Faire le calcul en utilisant l'approximation par la loi normale, avec la correction de continuité, revient à écrire que :
(
)
(
)
où
est une variable aléatoire de loi normale
.
Pour faire le calcul, on écrit l'événement à l'aide d'une variable aléatoire
de loi
(
)
(
)
(
)
(
)
On en déduit que
=
.
Le tableau ci-dessous donne quelques valeurs de la fonction de répartition de la loi
, notée
=
.
Approximation d'une loi binomiale par une loi de Poisson
Soit
une variable aléatoire de loi binomiale
.
Si on décide d'approcher la loi de
par une loi de Poisson, on utilise une loi de Poisson de
.
et l'écart-type de la loi de Poisson
En bleu, le diagramme en bâtons de la loi binomiale
sur l'intervalle [;]. En rouge, le diagramme en bâtons de la loi de Poisson
.
Le tableau ci-dessous donne quelques valeurs de la fonction de répartition de
(notée
) et de la fonction de répartition de la loi de Poisson
(notée
) à
près :
La valeur de obtenue en utilisant la fonction de répartition de
.
La valeur approchée de obtenue en utilisant l'approximation de la fonction de répartition de
par celle de la loi de Poisson
.
L'erreur relative que l'on commet en faisant l'approximation de la loi de
par la loi de Poisson
pour calculer
%.
Le décalage d'une montre
On s'aperçoit qu'une montre se décale de plus ou moins secondes chaque jour. On modélise le décalage quotidien en secondes de l'heure indiquée par une variable aléatoire de loi uniforme sur l'intervalle [-, ].
Le décalage (en secondes) que cette montre risque de prendre au bout de jours suit approximativement
normale 0
et
.
.
On cherche à calculer la probabilité, notée
, qu'au bout de jours la montre d'au moins . Utiliser l'approximation de la loi du décalage par la loi normale
, revient à écrire :
avec
De cette façon,
.
Pour obtenir un encadrement de
, on va utiliser l'inégalité de Berry-Esseen :
Soit
,
,
, ..., une suite de variables aléatoires indépendantes et de même loi ayant un moment d'ordre 3 fini. Posons
leur espérance,
leur écart-type et
. Alors,
pour tout
et
avec
(constante obtenue par V. Korolev et I. Shevtsova (2010)).
Ici,
,
0
,
et
.
On en déduit donc
.
Approximation de lois classiques
de
( ) ?
:
Séparez les deux valeurs par une virgule et gardez au moins 4 chiffres significatifs.
Réaction à un vaccin
.
?
avec
.
= .
?
La loi de
peut être approchée par la loi de Poisson de paramètre =.
.
Table de mortalité
Dans , on estime à % . On s'intéresse au devenir de nouveau-nés de .
On peut considérer que, dans ce groupe de , le nombre , est une variable aléatoire
qui suit
Les paramètres doivent être séparés par des virgules et mis dans l'ordre usuel.
binomiale
.
On cherche à calculer une valeur approchée de la probabilité pour que
.
On va approcher la loi de
par
ne faites un calcul exact que si les critères d'approximation ne sont pas satisfaits.
Vous choisissez d'approcher la loi de
par
.
En faisant la correction de continuité, vous obtenez
.
Vous choisissez d'approcher la loi de
par
.
Avec cette approximation, vous obtenez
.
Sans utiliser d'approximation,
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Description: collection d'exercices portant sur l'approximation de lois de probabilité. interactive exercises, online calculators and plotters, mathematical recreation and games
Keywords: interactive mathematics, interactive math, server side interactivity, mathematics,probability, modelling,random_variable,probability_distribution,binomial_distribution,normal_distribution,poisson_distribution,uniform_distribution,cumulative_distribution,mean,variance,rv_convergence,clthm