Déterminant

Guide

Le texte suivant introduit les déterminants en en donnant une construction puis donne quelques propriétés. On espère compléter ultérieurement la partie déterminant et systèmes linéaires.

Déterminant des matrices

Définition de l'application déterminant

Soit Mn,m(K) l'ensemble des matrices à coefficients dans un corps K (égal à ou ) ayant n lignes et m colonnes, Mn(K) l'ensemble des matrices carrées d'ordre n à coefficients dans K. On note

Théorème

Il existe une unique application , appelée déterminant vérifiant les propriétés suivantes
La propriété (D2) est vraie même si les colonnes ne sont pas à côté l'une de l'autre, nous le démontrons à partir des propriétés telles qu'elles ont été énoncés ici :
(D'2) s'il existe des indices j et k tels que , .

Conséquences immédiates de la définition

Petits cas

Pour n=1, on a nécessairement .
Pour n=2, on a nécessairement
det = det = det + det
= a det + c det
= a ( det + det ) + c (det +det )
= a ( 0 + d) det + c ( b det + 0) = a d -b c

Développement par rapport à une colonne

Lemme

Soit Ai j la matrice extraite de A obtenue en enlevant la i-ième ligne et la j-ième colonne. Alors,
.
Idée de la démonstration
Faisons la démonstration pour le développement par rapport à la première colonne. On écrit avec Ei le vecteur colonne formé de 0 sauf à la i-ième ligne où il y a 1. On a grâce à (D1)
Regardons le terme
.
Par exemple, ici i = 4
En faisant des manipulations sur les colonnes du type remplacer Ak par Ak - ai k Ei, on obtient que
où est la colonne Ak où on remplace le i-ième élément par 0.

Exemple

On remarque alors que l'application qui à une matrice B d'ordre n-1 associe avec la matrice colonne obtenue à partir de B en rajoutant un 0 à la place i, vérifie les deux premières propriétés du déterminant et vaut sur l'identité In-1. Donc
.

Exemple

Dans l'exemple ci-dessous, par rapport à quelle colonne a-t-on développé ?

Démonstration de l'existence et de l'unicité

Supposons par récurrence que l'existence et l'unicité de sont démontrés sur Mn-1(K) avec n>1. La fonction déterminant sur Mn-1(K) est notée en vert : .
Suposons l'existence de sur Mn(K) et montrons son unicité.

Démontrons l'existence de sur Mn(K).
Définissons une fonction sur Mn(K) provisoirement appelée par la formule
(développement par rapport à la i-ième ligne) :
pour i = 5 :
= + + + +
Elle vérifie (D1) : justification
Soit k l'indice de la colonne où l'on a remplacé Ak par a Ak+ b Bk et la matrice extraite correspondant à la matrice (A1,...,Bk,...An). Dans la somme définissant , aik est remplacé par aik+bik et Ai k ne change pas ; par contre pour j différent de k, ai j ne change pas et est remplacé par en utilisant la propriété (D1) pour .

Elle vérifie (D2) : justification
Soit l'indice k tel que les colonnes d'indice k et d'indice k+1 soient égales. Les matrices extraites Ai j intervenant dans la formule ont toutes deux colonnes égales et sont donc nulles sauf les matrices extraites Ai k et Ai k+1 qui sont égales :
.

Elle vérifie (D3) : justification

L'unicité prouve de plus que les fonctions ainsi définies sont tous égales.

Matrice triangulaire

Théorème

Si A est une matrice triangulaire inférieure, le déterminant de A est le produit de ses coefficients diagonaux ai i : on a
.
Démonstration
On raisonne par récurrence. On développe par rapport à la première colonne si la matrice est triangulaire supérieure et par rapport à la dernière colonne si la matrice est triangulaire inférieure.

Exemple

Le déterminant de
est égal à fois le déterminant de
.
Par récurrence, il vaut times times times times

Matrice inversible et déterminant

Théorème

Le déterminant d'une matrice carrée A d'ordre n est nul si et seulement si le rang de A est strictement inférieur à n, c'est-à-dire si et seulement si A n'est pas inversible.
Démonstration :
Ainsi,

Théorème

Pour que n vecteurs d'un espace vectoriel de dimension n forment une base, il faut et il suffit que le déterminant de la matrice formée avec leurs composantes dans une base quelconque soit non nul.

La valeur absolue du déterminant d'une base a une interprétation géométrique si l'on utilise le produit scalaire naturels de l'espace vectoriel comme volume du parallépipède construit à partir de la base.

Multiplicativité

Théorème

Si A et B sont deux matrices carrées d'ordre n;
.
En particulier, si A est inversible,
Démonstration :
Si B n'est pas inversible, A B ne l'est pas non plus et on a bien 0 = 0. Si B est inversible, neq 0. L'application
F : Mn(K) to K
définie par
vérifie toutes les propriétés du théorème-définition (exercice). Par unicité, on a donc
.

Transposition

Théorème

Si At est la transposée
La transposée de la matrice ((ai j)) est la matrice ((aj i)). Par exemple, la transposée de est la matrice .
de la matrice A,
.
On peut ainsi développer le déterminant par rapport à une ligne et les propriétés du théorème-définition restent vraies si on remplace les colonnes par les lignes.

Exercices

Exercices

Déterminant et vecteurs

Déterminant et vecteurs

Soit E un espace vectoriel de dimension n et une base.
Définition : Soit (v1, ... , vn) n vecteurs. On appelle déterminant de (v1, ... vn) dans la base le déterminant de la matrice des composantes des vi dans la base . On le note .

Proposition

Le déterminant de n vecteurs dans une base dépend de la base :
Si est une autre base, si P est la matrice de passage de à , on a

Produit mixte

Considérons un espace vectoriel E de dimension n muni d'un produit scalaire. Choisissons une base orthonormée.
Soit muni du produit scalaire où v = (xi), v' = (x1',...,xn'). Dans ce cas, la base canonique (e1,...,en) est orthonormée, c'est-à-dire vérifie si i=j et 0 sinon.

Théorème

Le déterminant de la matrice de passage d'une base orthonormée à une autre base orthonormée est égale à pm 1 .

Démonstration

La matrice de passage P vérifie P Pt = Id. Donc on a .
Une fois choisie une base orthonormée , le déterminant sépare les bases orthonormées en deux sous-ensembles :

Définition

Soit E un espace vectoriel de dimension n muni d'un produit scalaire (euclidien) et d'une base orthonormée de référence. On appelle produit mixte de n vecteurs v1,..., vn (on note aussi (v1,..., vn)) le déterminant de v1,..., vn dans la base ou ce qui revient au même dans toute base orthonormée directe.

Produit vectoriel

Soit un espace vectoriel E de dimension n muni d'un produit scalaire et d'une base orthonormée .
Définition : Soit n-1 vecteurs v1,..., vn-1. On appelle produit vectoriel de v1,..., vn-1 l'unique vecteur noté tel que

pour tout vecteur w de E.
Un tel vecteur existe grâce au théorème suivant :

Théorème

Soit un espace vectoriel E de dimension n muni d'un produit scalaire. Soit f une forme linéaire de E dans . Alors, il existe une unique vecteur a dans E tel que .
Exemple : Prenons n=2 : le produit vectoriel de v est le vecteur déduit de v par une rotation d'angle : on doit en effet avoir . Si les composantes de v, w et dans la base sont respectivement (a, b), (x,y) et (c,d), on doit avoir a y - b x = c x + d y pour tous x et y dans K. Donc les composantes de sont (-b, a).

Produit vectoriel : propriétés

Les propriétés suivantes se déduisent de la définition et des propriétés du déterminant :
Exercice : Retrouver toutes les propriétés du produit vectoriel que vous connaissez en dimension 3 comme conséquences des propriétés du déterminant.

Aire et déterminant

Théorème

Dans le plan, l'aire du parallélogramme formé à partir des vecteurs v1 et v2 est égale à la valeur absolue du déterminant de v1 et v2
Démonstration L'aire du parallélogramme construit sur les deux vecteurs (a,b) et (c,d) est égale à  : calculons l'aire de la moitié de ce parallélogramme qui est un triangle T. Rappelons que l'aire d'un triangle ne change pas lorsqu'un des sommets se déplace sur une parallèle au côté opposé :

Il ne reste plus qu'à découper le triangle T en trois triangles et à déformer chacun d'entre eux sans en changer l'aire jusqu'à obtenir une figure remplissant la moitié d'un rectangle de côtés de longueur a et b (et donc d'aire a b) auquel on a enlevé un rectangle de côtés de longueur c et d donc d'aire c d. Magique !

Théorème

L'aire du parallélogramme formé à partir des vecteurs v1 et v2 est égale à la norme du produit vectoriel de v1 et de v2.
Démonstration : Plaçons-nous dans le plan contenant les deux vecteurs v1 et v2. L'aire A à calculer est égale au produit de la longueur du vecteur v1 et de la longueur h de la hauteur correspondante. Le vecteur w associé à cette hauteur est la projection de v2 sur la droite perpendiculaire à v1. Si w1 = (-b,a) est le vecteur normal à v1 = (a,b) de même norme, on a donc

Théorème

Le volume du parallélépipède formé à partir des vecteurs v1, v2 et v3 de est égal à la valeur absolue du déterminant de v1 et de v2 et v3 calculée dans une base orthonormée.
Démonstration : Le volume V est égal au produit de l'aire A du parallélogramme formé par les vecteurs v1 et v2 et de la longueur H de la hauteur du parallélépipède correspondante. Cette hauteur est par définition perpendiculaire au plan engendré par les vecteurs v1 et v2. Si w est le vecteur représentant cette hauteur, il est donc colinéaire à et c'est la projection du vecteur v3 sur la droite engendrée par . Ainsi, on a

A =

Déterminant d'un endomorphisme

Soit E un espace vectoriel de dimension finie n et f un endomorphisme de E. Si .
Définition Le scalaire ne dépend pas de la base . On l'appelle le déterminant de f.
On applique la formule de changement de base : si P est la matrice de passage de la base à une base

Par multiplicativité du déterminant,

Théorème

  • f est un automorphisme de E si et seulement si neq 0 et on a alors

Déterminant et systèmes linéaires

Soit un système linéaire AX = B à n inconnues et n équations. La matrice A est donc une matrice carrée d'ordre n.
Définition : Si est non nul, le système est appelé système de Cramer.

Théorème

Un système de Cramer AX = B admet une solution unique donnée par les formules

avec Bj la matrice obtenue à partie de A en remplaçant la j-ième colonne par la colonne B.
Démonstration : Le système linéaire peut s'écrire en introduisant les colonnes de A :

et on peut utiliser alors la formule

Exemple : Si ad - bc neq 0, le système

a une unique solution donnée par

x =     y =

On utilise aussi les déterminants dans le cas de systèmes linéaires qui ne sont pas de Cramer.

document sur le déterminant.
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