Analyse vectorielle
Guide
- Motivation
- Préliminaires
- Champ de vecteurs
- Formes différentielles
- Intégration le long d'une courbe
- Caractérisation des champs de gradients
- Théorème de Green-Riemann
Documents
J. Stewart, Analyse, concepts et contextes, vol. 2, DeBoeck Université (2001)
Motivation
Si f est une fonction continue d'un intervalle dans , on définit l'intégrale de a à b de la fonction f : . Il y a deux propriétés de l'intégration que l'on voudrait généraliser lorsqu'on se place dans ou :- Dans le cas où
f est positive et
, on peut interpréter
comme une
aire
est l'aire du domaine Df défini par , :.Ainsi, l'aire du domaine Df limité par le graphe de la fonction f pour f(x)= x2-x+1 et x dans [0.9,2.3] et les segments O A, O B et B C est égale àOn a donc relié l'intégrale d'une fonction à une aire, c'est-à-dire à l'intégrale double . Cela s'exprimera plus tard comme le théorème de Green :
- On a la formule d'intégration fondamentale .
Préliminaires
- On peut voir
comme un espace vectoriel sur
. On appelle alors ses éléments des
vecteurs .
Prenez le aléatoire
ou
On peut additionner des vecteurs ou les multiplier par un scalaire, c'est-à-dire par un réel. On note un élément de soit comme un n-uplet (x1,...,xn) soit on l'écrit dans la base canoniquee1= (1,0,0,...), e2= (0,1,0,...), ..., en= (0,...,0,1)par exemple pour n=5,(x1, x2, x3, x4, x5) = x1 e1 + x2 e2 + x3 e3 + x4 e4 + x5 e5.Pour n = 2 et n = 3, il est fréquent que l'on note les vecteurs de la base canonique par et . Nous utiliserons les trois notations.Exercice : espace vectoriel
Tir aux vecteurs - On peut voir
comme un espace affine
formé de
points .
La notation M+v avec M un point et v un vecteur désigne le point translaté de M par le vecteur v. Ainsi, dans , si M est le point (-0.1, 1.1, -0.6, -1.4, -0.1) et v le vecteur 1.5 e 1 + (0.7 )e 2 + (-0.7 )e 3 + (0.9 )e 4 + (-1.7 )e 5 , M+v est le point (1.4, 1.8, -1.3, -0.5, -1.8).
Si N= M+ v, on note .
Un sous-espace affine est le translaté d'un sous-espace vectoriel (appelé sa direction vectorielle). Par exemple , l'ensemble des points de vérifiant x1+0.4x2+1.8x3=1.1 est un plan affine. Sa direction vectorielle est d'équation x1+0.4x2+1.8x3=0.Exercices sur les équations d'un sous-espace affine
Equaffine et Equaffine . Vous pouvez aussi changer la configuration et faire d'autres types d'exercices. - L'espace vectoriel
est muni d'une norme euclidienne et d'un produit scalaire
:
si u = (x1, ... ,xn) et v = (y1 , ... ,yn), alors.C'est un espace euclidien .Définition
On peut parler de- vecteurs orthogonaux
- de longueur d'un vecteur :
si v= , ||v||=
- de vecteurs unitaires
- de distance d'un point à une droite, à un plan...
- de produit vectoriel
Quelques exercices sur les distances dans l'espace euclidien
- distance d'une droite à un plan
- distance d'un plan à un plan
- distance d'un point à un plan I
- distance d'un point à un plan II
- distance entre deux droites I
- distance entre deux droites II .
- L'espace affine
est alors muni d'une distance :
et d'une topologie.
Définition
Les boules ouvertes sont les sous-ensembles de de la forme pour A un point et r un réel positif.
Un sous-ensemble de est dit ouvert si tout point de appartient à une boule ouverte contenue dans . Les boules ouvertes sont des ouverts.
On peut donc définir la continuité d'une fonction d'un ouvert de dans .Exemples
L'ensemble des tels que et -1<y<1 n'est pas un ouvert.regarder le point (0,1/2) par exemple
L'ensemble des tels que 0< x< 3 et -1<y<1 est un ouvert .Exercice : topologie ( pas encore)
Champ de vecteurs
- Champ de vecteurs
- Représentation graphique d'un champ
- Exemples de champ
- Le gradient
- Champ de vecteurs associé à une équation différentielle
- Systèmes différentiels
Champ de vecteurs
Définition
Un champ de vecteurs (ou champ vectoriel)
F sur
défini sur un domaine
de
est une fonction de
dans
.
Il est dit continu si
F est continu,
C1 si
F est
C1 (c'est-à-dire continu et
admettant des dérivées partielles continues).
Ainsi, à un point de
, on associe un vecteur
F(x1, x2, x3, x4) de
.
Exemple
Dans les champs de vecteurs
représentés graphiquement, les longueurs des vecteurs sont souvent modifiés par
un coefficient de proportionnalité pour des raisons esthétiques. Il est souvent
aussi plus facile de représenter le champ de directions associé, c'est-à-dire de
dessiner des vecteurs unitaires représentant les directions du champ en
oubliant son "intensité" c'est-à-dire sa norme.
Voici les deux représentations du champ donné par
F(x,y)=(,)
.
.
.
Représentation graphique d'un champ
Soit F le champ défini par F(x,y)=(,). Voici une représentation de ce champ à droite et la représentation du champ de directions associé à gauche (celui-ci est le champ G défini par :|
.
| . |
Exemples de champ
Exemple
-
Le champ de vecteurs tangents à une courbe dans
; il est donc défini sur la courbe et non sur
.
Dessin
- Le champ des vecteurs normaux à une surface dans ; il est défini sur cette surface (attention, on ne peut pas parler du champ de vecteurs tangents à une surface. Pourquoi ?)
- Le gradient
- Les champs associés à des équations différentielles ou des systèmes diffférentiels .
. Par exemple,
le champ de température est la fonction donnant la température en un point le champ de pression
est la fonction donnant la température en un point.
Exemple
Vous avez rencontré en physique des champs de vitesse
champs de force, des
champs électriques, des
champs magnétiques, des
champs électrostatiques, des champs de vitesse, des
champs gravitationnels. Quelle grandeur physique représente dans chaque cas le
champ ?
Le gradient
Définition
Soit
une fonction de 2 variables. On lui
associe un champ de vecteurs appelé champ de gradient
et noté grad
f ou 
f :
En posant
M = (x,y)
,
f :
.
Exercice
Autres notations
- en utilisant la base canonique (
e1,
e2
)
=
-
En physique, on utilise la notation suivante :
ux=e1,
uy=e2,
uz=e3 ce qui donne les formules suivantes
dansou en mettant les scalaires après les vecteurs contrairement à nos habitudes
dansdans
dans .
Champ de vecteurs associé à une équation différentielle
Soit f une fonction sur un ouvert de . On considère une équation différentielle y' = f(x,y) et on lui associe le champ de vecteurs suivant : à un point M = (x,y) de , on associe le vecteur unitaire de direction (1,f(x,y)). C'est donc le vecteur . Si est une solution sur un intervalle I, on a et le vecteur tangent à la courbe d'équation en un point est colinéaire au champ de vecteurs associé à l'équation différentielle.Exemple
Voici le dessin des directions associés à l'équation différentielle
y'=
.
Systèmes différentiels
SoitUne courbe intégrale est, disons,
une courbe paramétrée
qui est
C1 et qui vérifie
En chaque point, la tangente est de direction le champ de vecteurs
F.
On les appelle aussi lignes de courant : ce sont par
exemple, les trajectoires d'un objet dont le champ de vitesse est le champ de vecteurs
considéré.
Exemple
.
Le champ associé au système différentiel
est donné par
F(x,y)= (,)
Formes différentielles
- Rappels sur les formes linéaires
- Formes différentielles
- Lien entre champs de vecteurs et formes différentielles
Rappels sur les formes linéaires
Définition
Une forme linéaire
h sur l'espace vectoriel
est une application linéaire de
dans
.
Par exemple, la projection
est une forme linéaire de
, notons-la
.
De même, la projection
est une forme linéaire, notons-la
.
Toute forme linéaire h est représentée (dans la base usuelle (e1, e2 , e3 ) de ) par une matrice à une ligne et 3 colonnes (a1,a2 ,a3 ) et on a
h(x,y,z)=h(x e1 +y e2 +z e3)= x h( e1)+y h(e2)+z h(e3)
c'est-à-dire
.
Ainsi, toute forme linéaire sur
est combinaison linéaire des
(e1, e2, e3).
Exercice
Vérifier que si
f est une forme linéaire sur
,
il existe un vecteur
v tel que
pour tout vecteur
u de
.
Formes différentielles
Commencer par des rappels sur les formes linéaires avant la définition suivante :Définition
Une forme différentielle
(de degré 1) sur un ouvert
de
est la donnée en chaque point
M de
d'une forme linéaire
. En coordonnées,
Par exemple pour
n=4
, cela s'écrit
(de degré 1) sur un ouvert
de
est la donnée en chaque point
M de
d'une forme linéaire
. En coordonnées,
Exemple des formes différentielles associées à une fonction
Soit
une fonction de
n variables. On lui associe la forme différentielle
de degré 1
Par exemple, pour
n = 4
,
Pour
n = 2,
Si
f(x,y) = x, on obtient
, si
f(x,y) = y,
on obtient
.
D'où la notation commode
,
et l'expression plus familière
qu'il faut retenir
Pour n=1
La notion (ou notation) si on remplace
par
est la suivante :
à une fonction d'une variable
F sur un intervalle
I de
,
on associe
.
et lorsqu'il y a
n variables,
- un "champ de vecteurs" sur I (à valeurs dans ) donné par ;
- une forme différentielle de degré 1 sur I notée .
Lien entre champs de vecteurs et formes différentielles
Champs de vecteurs et formes différentielles sont extrêmement liés. Si
.
En posant
, on a alors symboliquement
.
Par exemple, si
f est une fonction sur
,
le champ de vecteurs associé à la forme différentielle
est égal à
grad f
et on a
Intégration le long d'une courbe
On désire définir l'analogue de avec . Pour cela on remplace le segment [ a , b] de par une courbe paramétrée de ou de et par une forme différentielle ou par .- Rappels sur les courbes paramétrées
- Intégrale curviligne d'un champ de vecteurs
- Intégrale curviligne d'une forme différentielle
- Flux, travail
- Intégration des champs de gradients
- Exemples
Rappels sur les courbes paramétrées
Définition
Une courbe paramétrée (plane) est une application d'un
intervalle
I de
dans
, ce qu'on appelle aussi
fonction vectorielle . Le
paramètre est
t, l'image de cette application est formée des points de la courbe.
Autrement dit, si
n=4
,
une courbe paramétrée dans
est donnée par
.
On note
l'image de
c. Lorsque
I est un intervalle fermé borné [a,b], les points extrémités
de
sont les points
c(a) et
c(b). La courbe est fermée si
c(a)=c(b).
On écrit par exemple
|
x1= c1(t) x2= c2(t) x3= c3(t) x4= c4(t) |
On ne regardera que des courbes C1 par morceaux sur un intervalle fermé, c'est-à-dire telles que les 4 fonctions c1 , c2 , c3 , c4 soient continues et C1 par morceaux, on appelle une telle courbe un chemin de A=c(a) vers B=c(b).
Vecteur tangent à une courbe paramétrée
En un point t où les ci sont dérivables et tel que les c'i(t)) ne soient pas tous nuls, le vecteur vitesse ou vecteur tangent est le vecteur ou encore . Par exemple, pour n=5, la tangente à la courbe en c(t) a la représentation paramétrique
x1= c1(t) + u c1'(t)
x2= c2(t) + u c2'(t)
x3= c3(t) + u c3'(t)
x4= c4(t) + u c4'(t)
x5= c5(t) + u c5'(t)
pour
, ce qui traduit la relation de colinéarité des vecteurs
et
v(t) :
.
x2= c2(t) + u c2'(t)
x3= c3(t) + u c3'(t)
x4= c4(t) + u c4'(t)
x5= c5(t) + u c5'(t)
Le cercle paramétré par x=, y= et son vecteur vitesse
1
Exercice sur la droite tangente à une courbe paramétrée.
Changement de paramètres
On peut changer le paramétrage, c'est-à-dire remplacer t par où
est une bijection d'un intervalle
J sur
I, continue, dérivable,
à dérivée continue et strictement positive .
Prenons
n=2
.
La nouvelle courbe paramétrée est donnée par
C=(C1
,
C2
) avec
,
pour
. Les points des deux courbes paramétrées
sont les mêmes. Mais le vecteur vitesse n'est pas le même :
.
Nous avons supposé que le changement de paramétrage
est croissant,
ainsi la courbe est "parcourue" dans le même sens de l'extrémité
A vers l'extrémité
B.
Choix paramétrés
Longueur d'une courbe et abscisse curviligne
Prenez la dimension n aléatoire ouThéorème
Soit
C une courbe paramétrée dans
C1 par morceaux d'équations paramétrées
x1 = c1(t)
,
x2= c2(t)
,
x3= c3(t)
pour
. La longueur de la courbe est égale à
.
Pour des détails et une démonstration dans le cas de , voir le document Doc Longueur et intégrale curviligne .
Rappelons simplement qu'une abscisse curviligne est un nouveau paramétrage de la courbe par la longueur définie à partir du paramétrage donné t par
.
Intégrale curviligne d'un champ de vecteurs
Prenez la dimension n aléatoire ouDéfinition
Soit
une courbe paramétrée et
un ouvert contenant
.
Soit
F un champ de vecteurs sur
. On définit
l'intégrale curviligne du champ de vecteurs
F=(F1
,
F2
,
F3
,
F4
,
F5
)=
F1 e1
+
F2 e2
+
F3 e3
+
F4 e4
+
F5 e5
le long
de
comme
L'intégrale curviligne de
F ne
dépend pas du paramétrage de la courbe
, mais
uniquement de l'image
, ce qui
justifiera la notation
.
Elle ne dépend pas non plus du
changement de coordonnées.
+
F2(c(t)) c'2(t)
+
F3(c(t)) c'3(t)
+
F4(c(t)) c'4(t)
+
F5(c(t)) c'5(t)
)
Indépendance par rapport au paramétrage
Un autre paramétrage de est donné par où est une bijection, dérivable, de dérivée non nulle, croissante. Ce qu'on appelle aussi un difféomorphisme conservant l'orientation de la courbe.
Calculons l'intégrale curviligne de + + + en utilisant le paramétrage (cas d'un champ de vecteurs sur )
:
+ + + )
+ + + )
+
F2(c(s)) c'2(s)
+
F3(c(s)) c'3(s)
+
F4(c(s)) c'4(s)
)
=
Où est cachée l'utilisation de la croissance de
? La formule de changement de variables est
.
L'écriture pour signifie avec . Lorsque est décroissante, l'intervalle est l'intervalle . Pour décroissante, on a donc la formule
.
On déduit de ce calcul que
Théorème
La définition de l'intégrale curviligne a bien un sens, à condition de considérer
le chemin
comme orienté :
"on parcourt la courbe de l'extrémité
A=c(a) vers l'extrémité
B=c(b)".
Changement de coordonnées
Plaçons-nous dans . Soit
un changement de coordonnées
,
) de
dans un ouvert
: autrement dit, on se donne une application injective
de
sur un ouvert
(donc
bijective de
sur
),
C1 et telle que
le déterminant de
Jac
soit partout non nul sur
. On dit aussi que
est un
difféomorphisme de
sur
.
Soit F = (P,Q) un champ de vecteurs. On applique le changement de variables , :
=
=
avec
=
Théorème
On a
avec
(P1,Q1) comme ci-dessus.
Exercice
Que donnent ces formules dans le cas du changement en coordonnées polaires
,
? ne pas chercher à appliquer la formule précédente
mais refaire le calcul dans ce cas particulier.
Qu'en déduit-on lorsque
est de la forme
avec
f une fonction de deux variables ?
est de la forme
avec
f une fonction de deux variables ?
Intégrale curviligne d'une forme différentielle
Définition
Soit
une courbe paramétrée
C1 et
un ouvert de
contenant
.
Soit
une forme différentielle définie sur
. On définit
l'intégrale (curviligne) de la forme
différentielle
le long du chemin
comme
Autrement dit, on intègre
le long du chemin
comme
(c(t)) qui est par définition De même
Définition
Soit
une courbe paramétrée
C1 et
un ouvert
de
contenant
.
Soit le long du chemin
comme
Ainsi, si
est le champ de vecteurs associé à
+
P2 d x2
+
P3 d x3
+
P4 d x4
+
P5 d x5
une forme différentielle définie sur
. On définit
l'intégrale (curviligne) de la forme
différentielle
le long du chemin
comme
+
P2(c(t)) c'2(t)
+
P3(c(t)) c'3(t)
+
P4(c(t)) c'4(t)
+
P5(c(t)) c'5(t)
)
, l'intégrale curviligne de
le long de la courbe
est la circulation de
le long de la courbe
.
L'intégrale curviligne d'une forme différentielle le long d'une courbe est indépendante du changement de paramètre croissant et se comporte bien par changement de coordonnées .
Exercice
Exercice
Flux, travail
L'intégrale curviligne d'un champ de vecteurs F le long d'une courbe s'appelle aussi la circulation le long de la courbe. La circulation de F ne dépend que de la composante tangentielle de F à la courbe.Lorsque le champ vectoriel représente un champ de forces , on parle de travail.
Le flux d'un champ F = (P,Q) à travers une courbe s'exprime aussi comme une intégrale curviligne, celle du champ (-Q , P). Ainsi, on a
Flux
En remarquant que
"représente"
un vecteur orthogonal à
(vecteur tangent) et que
forment une base directe, on voit que
le flux de
F à travers
ne dépend que de la
composante normale de
F à la courbe .
Exercice
Intégration des champs de gradients
Théorème
Soit
un champ de vecteurs
C1 et
une courbe paramétrée
C1 d'extrémités
A = c(a) et
B = c(b). Alors
C'est une généralisation du théorème
.
Démonstration
Démonstration
Faisons la démonstration pour
n = 6
. On a
(
D1(f)(c1(t), c2(t), c3(t), c4(t), c5(t), c6(t)) c'1(t)
+
D2(f)(c1(t), c2(t), c3(t), c4(t), c5(t), c6(t)) c'2(t)
+
D3(f)(c1(t), c2(t), c3(t), c4(t), c5(t), c6(t)) c'3(t)
+
D4(f)(c1(t), c2(t), c3(t), c4(t), c5(t), c6(t)) c'4(t)
+
D5(f)(c1(t), c2(t), c3(t), c4(t), c5(t), c6(t)) c'5(t)
+
D6(f)(c1(t), c2(t), c3(t), c4(t), c5(t), c6(t)) c'6(t)
)
avec
g(t)=f(c1(t), c2(t), c3(t), c4(t), c5(t), c6(t))
.
D'où la conséquence
Théorème
La circulation d'un champ de gradient le long d'un chemin ne dépend que des
extrémités du chemin.
Exemple
Exemples
Exemple
On considère une attraction proportionnelle à la distance à un point
O, appelé centre
d'attraction. Le champ de vecteurs
F vérifie
. Ainsi
F(x,y)= -m x e1 -m y e2.
Si
, on a
grad f = F.
Donc l'intégrale curviligne de
F le
long d'un chemin allant d'un point
A à un point
B ne dépend pas du chemin et vaut
. Autrement dit,
le travail
effectué pour aller de
A à
B ne dépend pas du chemin.
Exemple
On considère une attraction inversement proportionnelle à la distance à un point
O.
Le champ de vecteurs
F vérifie donc
Il est défini sur
.
Si
, le gradient de
f est égal à
F
sur
.
L'intégrale curviligne (le travail) de
F le long d'un chemin allant de
A à
B
qui ne passe pas par le point
O
ne dépend que de
A et de
B et vaut
.
Caractérisation des champs de gradients
- Condition nécessaire
- Condition suffisante pour une boule ouverte
- Remarques
- Théorème général
- Technique d'intégration
- Exercices
- Vers le rotationnel
Condition nécessaire
Prenez la dimension aléatoireSoit F=(P,Q) un champ de gradient C1 sur un ouvert de (on dit aussi champ dérivant d'un potentiel ou champ conservatif ) sur un ouvert de . Il existe une fonction f C2 sur à valeurs dans
telle que
grad f= F.
Alors on a
et
par le
théorème de Clairaut-Schwarz
Théorème
Soit
f une fonction de
n variables
x1,...xn qui est de classe
C2, c'est-à-dire continue et admettant
des dérivées partielles d'ordre 1 et 2 qui sont continues.
Alors, pour tout indice
i et
j, on a
Ainsi, si
n=4
, on a les égalités de fonctions
.
,
,
,
,
,
,
ce qui fait 6
égalités.
On aimerait avoir une réciproque. Mais cela dépend de la forme de l'ouvert.
Condition suffisante pour une boule ouverte
Prenons d'abord pour ouvert une boule ouverte.Théorème
Si
est une boule ouverte de
,
tout champ de vecteurs
C1 vérifiant
les conditions précédentes
pour
i et
j compris entre 1 et 4
est un champ de gradient.
Démonstration
i, j