Le planimètre
Présentation
Le principe
La justification mathématique
Un site sur le planimètre
Description du planimètre
Le planimètre polaire est un appareil qui permet de mesurer des surfaces planes.
Un planimètre est formé de deux barres T et S de même longueur liés par une articulation A (en bleu sur le dessin). L'extrémité noire O de T est fixe tandis que la deuxième extrémité rouge M de S (la pointe du planimètre) est libre de se déplacer. On met d'autre part sur le bras S une roue d'axe S rouge sur le dessin.
Si maintenant on fait parcourir à la pointe M du planimètre une courbe fermée C sans points doubles, on a la propriété suivante :
Théorème.
Lorsqu'on fait parcourir à la pointe du planimètre une courbe fermée
C sans points doubles, le nombre de tours que fait la roue est proportionnel
à l'aire du domaine délimité par
C.
Il suffit donc d'étalonner d'abord le planimètre en prenant comme courbe un carré de côté 1 pour pouvoir mesurer l'aire d'une surface plane sur une carte.
Dessin animé
Voici un exemple de courbe parcourue par un planimètre. Vous pouvez en changer en cliquant sur l'étoile.
Interprétation du nombre de tours
Par le calcul : Si M=(0.9,-1.5), le point A de l'articulation est de coordonnées avec r la longueur des deux bras.
On introduit le champ de vecteurs F qui associe en chaque point M du plan atteint par l'extrémité M du planimètre le vecteur unitaire perpendiculaire au bras S et tel que est direct.
Théorème
L'intégrale curviligne du champ
F
le long d'une courbe
C est proportionnelle au nombre de tours que fait la roue lorsque la pointe se déplace le long de la courbe.
Lorsque M se déplace dans la direction du bras S, comme l'axe de la roue est S, la roue ne tourne pas. Par contre lorsque M se déplace perpendiculairement au bras S, le nombre de tours de la roue est proportionnel à la longueur qu'elle parcourt. En général, le nombre de tours dans un déplacement est proportionnel au produit scalaire du déplacement avec F(M), qui est aussi la longueur algébrique de la projection de sur F(M). Si la pointe M décrit une courbe C, le nombre de tours est donc proportionnel à l'intégrale curviligne de F le long de la courbe C.
Ainsi, on désire relier une intégrale curviligne et une aire. Le théorème de Green est fait pour ça.
Théorème de Green
Théorème.
Soit
C une courbe fermée sans points doubles, bord d'un domaine
D,
bien orientée. Alors
Pour appliquer ce théorème nous allons montrer que
Théorème.
Le rotationnel du champ
F
est constant et égal à
.
Démonstration
Soit
(0.9,-1.5) les coordonnées du point
M et
(a(0.9,-1.5),b(0.9,-1.5))
les coordonnées du point
B.
Le champ
F a comme composantes
avec
la longueur constante des deux bras.
On doit donc calculer
c'est-à-dire
De même,
Enfin,
=
Écrivons que les deux bras sont de longueur
r.
a2 + b2 = r2
(0.9 - a(0.9,-1.5))2 + (-1.5 - b(0.9,-1.5))2 = r2
Donc en différentiant
.
En voyant ces équations comme un système linéaire en
et
, on trouve
Donc, qui est proportionnel au nombre de tours qu'a fait la roue lorsque la pointe du planimètre a parcouru toute la courbe est aussi proportionnel à l'aire de la surface délimitée par C.