Isométries de l'espace

Sommaire

Ce document présente les isométries de l'espace affine euclidien orienté de dimension 3, noté E. L'espace vectoriel euclidien associé est noté .

• Les isométries vectorielles
• Les isométries affines
• Tableau des isométries de l'espace

Vous pouvez consulter ce document page à page ou à partir du tableau des isométries.

Il a pour base la partie VI du polycopié "Géométrie euclidenne" rédigé par Marie-Claude DAVID, Daniel PERRIN, Frédéric HAGLUND et utilisé à la préparation au CAPES de mathématiques à Orsay (Université Paris-Sud).

Les isométries vectorielles

Sommaire de la partie des isométries vectorielles.

1. Orientation d'un plan vectoriel de l'espace par un vecteur normal
2. Droites propres et plans stables par une isométrie vectorielle
3. Les symétries orthogonales de l'espace vectoriel de dimension 3 (isométries vectorielles admettant trois valeurs propres réelles)
4. Les isométries vectorielles admettant une seule valeur réelle
5. Liste des isométries vectorielles (définitions)
6. Forme de la matrice d'une isométrie vectorielle dans une base orthonormée bien choisie
7. Nature d'une isométrie vectorielle donnée par sa matrice dans une base othonormée directe

Orientation d'un plan vectoriel de l'espace par un vecteur normal

Soit un plan vectoriel de et soit un vecteur unitaire orthogonal à . Par définition, l'orientation de définie par est la suivante : si est une base orthonormée de , on dit que est directe si la base est directe.

Remarque : Attention, si l'on change en , l'orientation de est renversée.

Droites propres et plans stables par une isométrie vectorielle

Comme est de dimension 3, tout endomorphisme de admet une ou trois valeurs propres réelles (comptées avec leur multiplicité)

Démonstration : Les valeurs propres d'une isométrie sont . La stabilité du plan orthogonal vient de la conservation de l'orthogonalité et de la stabilité de .

Les symétries orthogonales de l'espace vectoriel de dimension 3

La proposition suivante permet d'affirmer qu'une isométrie vectorielle qui admet trois valeurs propres réelles (comptées avec leur ordre de multiplicité) est diagonalisable, et plus précisément une symétrie orthogonale (bien sûr).

Démonstration : Soit une droite propre de pour la valeur propre = 1 . Comme le plan est stable par , la restriction est une isométrie de qui admet deux valeurs propres réelles. Vue la classification des isométries en dimension 2, est donc l'identité, la symétrie centrale ou une symétrie axiale. Dans tous les cas, est diagonalisable et donc aussi. Comme les valeurs propres de sont 1, il en résulte que est une symétrie.

Liste des symétries orthogonales

Les isométries vectorielles admettant une seule valeur réelle

Démonstration : Comme n'a pas de valeur propre réelle, la classification des isométries planes montre que c'est une rotation. Cela prouve les points 1 et 2.

On considère l'orientation de définie par . Si est une base directe de , est alors une base directe de et si est l'angle de la rotation dans muni de cette orientation , on a bien la matrice annoncée dans .

Liste des isométries vectorielles

Les symétries orthogonales

Les rotations

Remarques

Les antirotations

Cette appellation nous semble commode, mais elle n'est pas standard. La plupart des auteurs ne donnent pas de nom spécifique à cette transformation.

Forme de la matrice d'une isométrie vectorielle dans une base orthonormée bien choisie

Toutes les isométries vectorielles admettent une matrice de la forme

dans une base orthonormée bien choisie .

En effet, on retrouve

• l'identité pour et ,
• les réflexions avec et ,
• les demi-tours pour et
• la symétrie centrale pour et

et bien sûr

• les rotations pour et (mod ) .
• les antirotations pour et (mod ).

Remarques :

1. On notera que, sauf dans le cas des symétries orthogonales, la droite engendrée par est bien déterminée : c'est la droite propre relative à .
2. La matrice d'une symétrie orthogonale est symétrique dans toute base orthonormée.
   En effet, si A est la matrice d'une symétrie orthogonale dans une base orthonormée, elle vérifie et comme elle est orthogonale, elle vérifie aussi , dans A est symétrique.
3. Dans la pratique, il n'est pas nécessaire de trouver la base où la matrice de est de cette forme pour déterminer sa nature (Voir la suite) .

Nature d'une isométrie vectorielle donnée par sa matrice dans une base othonormée directe

Soit B une base orthonormée directe de et une isométrie de de matrice A dans B.

• La matrice A est orthogonale.

Exercice 1: Déterminer une matrice orthogonale.

• L'isométrie est une symétrie si et seulement si A est une matrice symétrique.
  En effet, si A est la matrice d'une symétrie orthogonale dans une base orthonormée, elle vérifie et comme elle est orthogonale, elle vérifie aussi , dans A est symétrique.

  Dans ce cas :

  • est (resp. ) si et seulement si A est (resp. )
  • si vaut -1, est un demi-tour
  • si vaut 1, est une réflexion
• Si n'est pas une symétrie, admet la valeur propre 1 si elle est positive (c'est une rotation), -1 si elle est négative (c'est une antirotation). On oriente l'axe de en choisissant un vecteur propre unitaire relatif à la valeur propre . L'angle est alors entièrement déterminé par les remarques suivantes :
  1. on a
  2. le signe de est le signe de où est un vecteur quelconque non colinéaire à .

Exercice 2 : Reconnaître un demi-tour, une réflexion, une rotation, une antirotation sur sa matrice.
Exercice 3 : Etude d'une rotation donnée par sa matrice.
Exercice 4 : Déterminer les éléments caractéristiques d'une rotation ou d'une antirotation.

Les isométries affines

Pour commencer, consultez des Résultats importants de géométrie affine .
Dans l'espace affine :

• Les déplacements de l'espace
  • Définition d'une rotation affine
  • Définition d'un vissage
• Les antidéplacements de l'espace
  • Définition d'une antirotation affine
• Droites et plans stables par une isométrie affine
• Exercices

Résultats importants de géométrie affine

Valeur propre 1 et points fixes

Commutation avec une translation

Décomposition des applications affines

D'après la proposition précédente, les affirmations (2) et (3) du théorème sont équivalentes.

Cas particulier des isométries affines

Les déplacements de l'espace

Démonstration : Soit f un déplacement et l'application linéaire associée. En vertu de la liste des isométries vectorielles , est une rotation vectorielle d'angle . Si est nul, est l'identité, donc f est une translation ou l'identité. Sinon, comme admet la valeur propre 1, il y a deux cas :

1. L'application f a un point fixe : dans ce cas elle a toute une droite de points fixes et c'est une rotation ,
2. L'application f n'a pas de point fixe : dans ce cas, elle s'écrit comme composée d'une rotation et d'une translation de vecteur non nul (appartenant à la direction de l'axe de la rotation) qui commutent d'après le théorème de décomposition . C'est alors un vissage .

Définition d'une rotation affine

Définition d'un vissage

Les antidéplacements de l'espace

Démonstration : Les antirotations vectorielles n'ayant pas la valeur propre 1, les applications affines associées ont un unique point fixe et sont donc des antirotations affines .

En revanche, les réflexions ont la valeur propre 1 d'où les deux cas ci-dessus (voir Résultats importants de géométrie affine ).

Définition d'une antirotation affine

Une antirotation est la composée commutative d'une réflexion et d'une rotation.

Droites et plans stables par une isométrie affine

Voici une méthode de recherche des sous-espaces stables par une isométrie affine.

• La recherche des droites et des plans affines stables par une isométrie affine f commence par la recherche de leurs directions : les directions possibles sont les droites et les plans vectoriels stables par .
• Parmi les droites ou plans de direction stable par , il reste à déterminer ceux qui sont stables par f.

Soit G un sous-espace affine de direction stable par . S'il existe un point m de G tel que f(m) appartienne à G, alors G est stable par f, s'il existe un point m de G tel que f(m) n'appartienne pas à G, alors G n'est pas stable par f.

Lorsque que vous avez déterminé les droites et les plans stables par chaque type d'isométrie, vous pouvez tester vos connaissances sur le sujet à l'aide de l' exercice de récapitulation .

Exercices

1. QCM sur les isométries affines.
2. Points fixes, droites et plans stables d'une isométrie affine.
3. Caractériser une isométrie par sa trace.

Tableau des isométries de l'espace

Soit f une isométrie affine dont l'application linéaire associée est . On note A la matrice de dans une base orthonormée directe donnée de l'espace orienté. (Dans la pratique, il n'est pas nécessaire de calculer les valeurs propres de A pour connaître la nature de . Pourquoi ? )

	ISOMETRIES POSITIVES			ISOMETRIES NEGATIVES
	1 est valeur propre simple. Le choix d'un vecteur directeur de oriente le plan . et sont stables par .		1 est valeur propre triple	1 est valeur propre double.	1 n'est pas valeur propre.
	a une valeur propre réelle. A n'est pas symétrique	a 3 valeurs propres réelles : 1,-1,-1 A est symétrique		a 3 val. propres réelles : 1,1,-1 A est symétrique	-1 est valeur propre triple	-1 est valeur propre simple. Le choix d'un vecteur directeur de oriente le plan . et sont stables par est une rotation d'angle distinct de 0 et
	est une rotation d'angle distinct de 0 et
	, rotation vectorielle d'axe orienté par et d'angle distinct de 0 et	est le demi-tour d'axe ou symétrie par rapport à		est la réflexion vectorielle par rapport à		, l' antirotation vectorielle d'axe orienté par et d'angle distinct de 0 et
f a au moins un point fixe	Les points fixes de f forment une droite D de direction Les plans perpendiculaires à D sont stables par f.		Tous les points sont fixes. f est l'identité.	f a un plan P de points fixes de direction .	f a un unique point fixe c.
	f est la rotation affine d'axe D orienté par et d'angle distinct de 0 et de	f est le demi-tour (ou la symétrie) d'axe D.		f est la réflexion par rapport à P	f est la symétrie centrale de centre c.	f est l' antirotation affine de centre c, d'axe orienté par et d'angle distinct de 0 et où P est le plan passant par c orthogonal à D.
f n'a aucun point fixe	f est un vissage . Sa décomposition canonique est : où est un vecteur non nul de .		f est une translation de vecteur non nul.	f est une réflexion glissée . où est un vecteur non nul de .	Comme n'admet pas la valeur propre 1, f a un unique point fixe.